سوال ۴۲ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳ — ۶ تابع.

مدل مسئله

$A=\{1,2,3\}$ و $B=\{1,3,5\}$، پس $|A|=|B|=3$. صورت سؤال توابعی را می‌خواهد که هم یک‌به‌یک (one-to-one / injective) باشند و هم برد (range / image) آن‌ها دقیقاً برابر $B$ باشد — یعنی هر عضو $B$ تصویر شود. تابع یک‌به‌یکی که بردش کل هم‌دامنه باشد، یک تابع دوسویی (bijection) است، و تعداد توابع دوسویی میان دو مجموعهٔ هم‌اندازه با $n$ عضو، برابر تعداد جایگشت‌های $n$ شیء است:

گزینهٔ ۳.

شمارش مستقیم (تعیین تصویرها یکی‌یکی)

تابع $f$ را با انتخاب $f(1)$، سپس $f(2)$ و سپس $f(3)$ می‌سازیم؛ یک‌به‌یک بودن اجازهٔ تکرار یک تصویر را نمی‌دهد:

این دقیقاً همان تعداد جایگشت $P(3,3)=\dfrac{3!}{(3-3)!}=6$ است. به‌طور کلی تعداد توابع یک‌به‌یک از یک مجموعهٔ $m$ عضوی به یک مجموعهٔ $n$ عضوی برابر $P(n,m)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$ است، و وقتی $m=n$ باشد هر تابع یک‌به‌یک به‌طور خودکار پوشا (onto) نیز هست — به همین دلیل شرط اضافی «برد $B$» در اینجا چیزی به مسئله نمی‌افزاید و پاسخ در هر حال $3!$ است. همین پایداری، یک وارسی مفید است: چه «برد» را به معنای تصویر بخوانید و چه به معنای هم‌دامنه، شمارش برابر $6$ می‌شود.

فهرست کامل

شش تابع، همان‌طور که ادعا شد — و توجه کنید که مقادیر اعضای $A$ و $B$ هیچ نقشی ندارند؛ تنها اندازهٔ مجموعه‌ها مهم است.

تلهٔ رایج: هر گزینهٔ انحرافی، یک لغزش مشخص و نام‌بردنی است.

• ۱۲ $=2\times 3!$ — شمردن هر تناظر به‌صورت دوباره، یک‌بار به‌عنوان تابع $A\to B$ و یک‌بار به‌عنوان وارون آن $B\to A$. صورت سؤال «دامنه $A$» را تثبیت کرده است، پس تنها یک جهت شمرده می‌شود.
• ۷ $=2^{3}-1$ — تعداد زیرمجموعه‌های ناتهی یک مجموعهٔ ۳ عضوی: اشتباه گرفتن توابع با زیرمجموعه‌ها/روابط. (تعداد کل توابع $A\to B$ برابر $3^{3}=27$ است که تنها $6$ تای آن‌ها یک‌به‌یک‌اند.)
• ۱ — فرض اینکه تناظر باید ترتیب طبیعی را حفظ کند یا مقادیر «برابر» را به هم بنگارد، یعنی تنها $1\mapsto1,\;2\mapsto3,\;3\mapsto5$. هیچ‌چیز در صورت سؤال ایجاب نمی‌کند که تابع ترتیب‌نگه‌دار باشد یا اعضای مشترک را ثابت نگه دارد؛ هر یک از $3!$ ترتیب ممکن، تابعی معتبر است.
• ۶ — تنها شمارشی که با «یک‌به‌یک» و «برد $B$» برای دو مجموعهٔ هم‌اندازه سازگار است.