سوال ۱۳۸ کنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴

پاسخ: گزینهٔ ۳ — $a>4$.

در جواب بهینهٔ چندگانهٔ برنامه‌ریزی خطی (alternative LP optima)، خط تراز تابع هدف باید با یک ضلع موجه دارای طول مثبت منطبق باشد. قید اول، تابع هدف را به $Z\le6$ محدود می‌کند. روی مرز این قید، $x_1=6-x_2$ را در دو قید دیگر جای‌گذاری می‌کنیم:

با توجه به $x_2\le2$، نامساوی دوم فقط در حالت زیر بازه‌ای غیرتهی با طول مثبت روی آن ضلع ایجاد می‌کند:

در حالت تساوی، فقط نقطهٔ $(x_1,x_2)=(4,2)$ باقی می‌ماند و جواب بهینه یکتاست. برای مقادیر بزرگ‌تر پارامتر، یک پاره‌خط کامل بهینه است و همهٔ نقاط آن مقدار $Z=6$ را می‌دهند.

تلهٔ رایج: گزینهٔ ۱ آستانهٔ تغییر علامت مخرج را به‌جای آستانهٔ ایجاد ضلع بهینه گرفته است. گزینهٔ ۲ ناحیهٔ موجه را به مبدأ محدود می‌کند. گزینهٔ ۴ پایین‌تر از آستانهٔ تشکیل ضلع است و مرز کران تابع هدف دست‌یافتنی نیست. صرف موازی‌بودن خط هدف و مرز قید برای چندگانگی کافی نیست؛ بخش موجه مشترک باید طول مثبت داشته باشد.