سوال ۸۷ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۵

ویژه مقادیر و ویژه بردارهای هامیلتونی الکترون‌های بدون برهمکنش در جعبه مکعبی به ضلع L به صورت زیر است:

$E = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\left(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2\right)$

$\psi(x) = \left(\frac{2}{L}\right)^{3/2}\sin\frac{n_1\pi x}{L}\,\sin\frac{n_2\pi y}{L}\,\sin\frac{n_3\pi z}{L}$

که $n_1$، $n_2$ و $n_3$ اعداد طبیعی هستند. انرژی فرمی با چه توانی از چگالی الکترونی متناسب است؟