ریاضی سؤال ۱۲ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۱

سمت راست را ساده می‌کنیم. برای این کار $\tan x$ و $\cot x$ را برحسب $\sin x$ و $\cos x$ می‌نویسیم:

این ساده‌سازی به شرط $\sin x\ne \mathrm{۰}$، $\cos x\ne \mathrm{۰}$ و $\sin x+\sqrt{\mathrm{۳}}\cos x\ne \mathrm{۰}$ درست است. شرط آخر یعنی $\tan x\ne -\sqrt{\mathrm{۳}}$.

معادله به $\tan \mathrm{۴}x=\tan x$ تبدیل می‌شود:

حالا شرط‌ها را اعمال می‌کنیم. $\sin x\ne \mathrm{۰}$ یعنی $k$ مضرب $\mathrm{۳}$ نباشد. $\tan x\ne -\sqrt{\mathrm{۳}}$ یعنی $x\ne -\frac{\pi }{\mathrm{۳}}+k^{\prime }\pi$، پس باید $k\equiv \mathrm{۲}(\mathrm{mod}\mathrm{۳})$ نباشد. بنابراین فقط $k\equiv \mathrm{۱}(\mathrm{mod}\mathrm{۳})$ قابل قبول است، یعنی $\tan x=\sqrt{\mathrm{۳}}$.

از $-\mathrm{۲}\pi \le \frac{k\pi }{\mathrm{۳}}\le \mathrm{۲}\pi$ نتیجه می‌شود $-\mathrm{۶}\le k\le \mathrm{۶}$. مقدارهای مجاز $k$ برابرند با $-\mathrm{۵},-\mathrm{۲},\mathrm{۱},\mathrm{۴}$.

در این نقطه‌ها $\tan \mathrm{۴}x=\sqrt{\mathrm{۳}}$ تعریف‌شده است. پس معادله $\mathrm{۴}$ جواب دارد.