ریاضی سؤال ۲۷ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $EFCD$ ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین است، $\hat{D}=\hat{C}$ است. پس مثلث قائم‌الزاویهٔ $GDC$ متساوی‌الساقین است و $GD=GC$ می‌شود. وتر آن $DC=\mathrm{۳۰}$ است، بنابراین:

دو مثلث $ADG$ و $BGC$ قائم‌الزاویه‌اند و $\widehat{DGC}=\mathrm{۹}{\mathrm{۰}}^{\circ }$ است. پس $\widehat{ADG}=\widehat{BGC}$ و دو مثلث هم‌نهشت‌اند. نتیجه می‌شود:

$a$ و $b$ اعداد صحیح مثبت‌اند. فقط دو حالت $\mathrm{۴۵۰}=\mathrm{۲}{\mathrm{۱}}^{\mathrm{۲}}+{\mathrm{۳}}^{\mathrm{۲}}$ و $\mathrm{۴۵۰}=\mathrm{۱}{\mathrm{۵}}^{\mathrm{۲}}+\mathrm{۱}{\mathrm{۵}}^{\mathrm{۲}}$ ممکن است. در حالت اول $AB=\mathrm{۲۱}+\mathrm{۳}=\mathrm{۲۴}$ و در حالت دوم $AB=\mathrm{۳۰}$ می‌شود. حالت دوم در گزینه‌ها نیست و در آن $AD=BC$ است، یعنی $ABCD$ مستطیل می‌شود و ذوزنقه نیست. پس: