رأس سهمی y=-۸x²+ax+۱ و صفرهای آن، رئوس مثلثی با مساحت ۲۷/۶۴ است. اگر بخش بزرگتری از مساحت مثلث در ناحیۀ دوم باشد، مقدار a کدام است؟

ریاضی سؤال ۱۱۱ کنکور ۱۴۰۵

رأس سهمی $y = - ۸ x^{۲} + a x + ۱$ و صفرهای آن، رئوس مثلثی با مساحت $\frac{۲۷}{۶۴}$ است. اگر بخش بزرگ‌تری از مساحت مثلث در ناحیهٔ دوم باشد، مقدار $a$ کدام است؟

- ۲

۴ ۲

۲

- ۴ ۲

پاسخ تشریحی

پاسخ: گزینهٔ ۱

قاعدهٔ مثلث فاصلهٔ دو صفر سهمی و ارتفاع آن عرض رأس سهمی است (ریاضی $۲$ ، فصل $۱$ : معادلهٔ درجهٔ دوم و تابع درجهٔ $۲$ ). مساحت را برحسب $a$ می‌نویسیم و شرط ناحیهٔ دوم، علامت $a$ را مشخص می‌کند.

Δ = a^{۲} - ۴ \times (- ۸) \times ۱ = a^{۲} + ۳۲ > ۰

پس سهمی محور $x$ را در دو نقطه قطع می‌کند. فاصلهٔ دو صفر و عرض رأس برابرند با:

∣ x_{۱} - x_{۲} ∣ = \frac{Δ}{∣ - ۸∣} = \frac{a ^{۲} + ۳۲}{۸}, y_{رأس} = - \frac{Δ}{۴ \times ( - ۸ )} = \frac{a ^{۲} + ۳۲}{۳۲} > ۰

مساحت مثلث، نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است:

\frac{۲۷}{۶۴} = \frac{۱}{۲} \times \frac{a ^{۲} + ۳۲}{۸} \times \frac{a ^{۲} + ۳۲}{۳۲} = \frac{( a ^{۲} + ۳۲ ) ^{\frac{۳}{۲}}}{۵۱۲}

(a^{۲} + ۳۲)^{\frac{۳}{۲}} = ۲۱۶ = ۶^{۳} \Rightarrow a^{۲} + ۳۲ = ۳۶ \Rightarrow a = \pm ۲

حاصل‌ضرب صفرهای سهمی $\frac{۱}{- ۸} < ۰$ است، پس یک صفر منفی و یک صفر مثبت دارد و محور $y$ مثلث را به دو بخش می‌کند. رأس بالای محور $x$ است، پس مثلث فقط در ناحیه‌های اول و دوم قرار دارد.
مثلث متساوی‌الساقین است و محور تقارن سهمی، یعنی خط $x = \frac{a}{۱۶}$ ، از رأس و وسط قاعده می‌گذرد و مساحت مثلث را نصف می‌کند. اگر $\frac{a}{۱۶} < ۰$ باشد، این خط در سمت چپ محور $y$ است. در این حالت یک نیمهٔ مثلث کاملاً در ناحیهٔ دوم است و بخشی از نیمهٔ دیگر هم در سمت چپ محور $y$ قرار می‌گیرد، پس بیش از نصف مساحت در ناحیهٔ دوم است. اگر $\frac{a}{۱۶} > ۰$ باشد، به همین دلیل بیش از نصف مساحت در ناحیهٔ اول است. بنابراین شرط مسئله $a < ۰$ است:

a < ۰ \Rightarrow a = - ۲

گزینهٔ $۳$ هم مساحت داده‌شده را می‌دهد، اما رأس آن سمت راست محور $y$ است و بخش بزرگ‌تر در ناحیهٔ اول قرار می‌گیرد. گزینه‌های $۲$ و $۴$ مساحت $۱$ می‌دهند.