ریاضی سؤال ۱۱۴ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

دامنهٔ ترکیب $g\circ f$ شامل عددهایی از $D_f$ است که $f$ آنها را به $D_g$ می‌برد (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۱}$: ترکیب توابع). اگر $t=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}x$ باشد، ابتدا $t$ را پیدا می‌کنیم و سپس $x=\mathrm{۲}t$ را به دست می‌آوریم.
از نمودار $f$: پاره‌خطی است که دو سر آن نقطه‌های توپر $(-\mathrm{۳},\mathrm{۰})$ و $(\mathrm{۰},-\mathrm{۲})$ هستند، پس $D_f=[-\mathrm{۳},\mathrm{۰}]$ و ضابطهٔ آن با شیب $\frac{-\mathrm{۲}-\mathrm{۰}}{\mathrm{۰}-(-\mathrm{۳})}=-\frac{\mathrm{۲}}{\mathrm{۳}}$ چنین است:

از نمودار $g$: نمودار از نقطهٔ توخالی $\left(-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}},\mathrm{۰}\right)$ شروع می‌شود و تا سمت راست محور $y$ ادامه دارد، پس هر عدد بازهٔ $\left(-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}},\mathrm{۰}\right]$ در $D_g$ است و $-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ در آن نیست. مقدارهای $f$ در بازهٔ $[-\mathrm{۲},\mathrm{۰}]$ هستند، پس فقط باید از $-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ بزرگ‌تر باشند:

نابرابری $f(t)\le \mathrm{۰}$ برای همهٔ $t\ge -\mathrm{۳}$ برقرار است. از نابرابری دیگر داریم:

پس $t\in \left[-\mathrm{۳},-\frac{\mathrm{۹}}{\mathrm{۴}}\right)$ و طول این بازه $\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۴}}$ است. چون $x=\mathrm{۲}t$ است، همهٔ فاصله‌ها دو برابر می‌شوند: