ریاضی سؤال ۱۱۵ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۴

با به توان دو رساندن رابطهٔ داده‌شده، مقدار $\sin x\cos x$ را پیدا می‌کنیم و از آن به $(\sin x-\cos x{)}^{\mathrm{۲}}$ می‌رسیم (ریاضی $\mathrm{۱}$، فصل $\mathrm{۲}$: روابط بین نسبت‌های مثلثاتی). در ربع سوم $\tan x>\mathrm{۰}$ و $\cot x>\mathrm{۰}$ است، پس هر دو رادیکال معنا دارند.

چون $\tan x\cot x=\mathrm{۱}$ است و مربع سمت راست برابر $\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۷}}$ می‌شود، داریم:

برای تعیین علامت، توجه می‌کنیم که تفاضل $\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x}$ مثبت است، پس $\tan x>\cot x=\frac{\mathrm{۱}}{\tan x}$ و چون $\tan x>\mathrm{۰}$ است، $\tan x>\mathrm{۱}$ می‌شود:

در ربع سوم $\cos x<\mathrm{۰}$ است و ضرب دو طرف در عدد منفی جهت نابرابری را عوض می‌کند:

بنابراین $\sin x-\cos x=-\frac{\sqrt{\mathrm{۲}}}{\mathrm{۳}}=-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳}}\sqrt{\mathrm{۲}}$ است. گزینهٔ $\mathrm{۱}$ با نادیده گرفتن علامت به دست می‌آید.