ریاضی سؤال ۱۱۷ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا با رابطهٔ تبدیل زاویه، ضابطهٔ تابع را ساده می‌کنیم (ریاضی $\mathrm{۲}$، فصل $\mathrm{۴}$: مثلثات)، سپس از علامت مشتق برای نزولی بودن استفاده می‌کنیم (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۵}$: کاربرد مشتق).

تابع در جایی نزولی است که $f^{\prime }(x)\le \mathrm{۰}$ باشد، یعنی $\cos \mathrm{۳}x\ge \mathrm{۰}$. نزدیک $x=\mathrm{۰}$ داریم $\cos \mathrm{۳}x>\mathrm{۰}$، پس بزرگ‌ترین بازهٔ شامل $\mathrm{۰}$ که در آن $\cos \mathrm{۳}x\ge \mathrm{۰}$ است، از شرط زیر به دست می‌آید:

بازهٔ $[a,\mathrm{۰}]$ باید داخل این بازه باشد، پس $a\ge -\frac{\pi }{\mathrm{۶}}$ است. در $x=-\frac{\pi }{\mathrm{۶}}$ مشتق فقط در همان نقطهٔ انتهایی صفر می‌شود و در درون بازه منفی است، پس تابع روی $\left[-\frac{\pi }{\mathrm{۶}},\mathrm{۰}\right]$ اکیداً نزولی است. برای $a<-\frac{\pi }{\mathrm{۶}}$ در بازهٔ $\left(-\frac{\pi }{\mathrm{۲}},-\frac{\pi }{\mathrm{۶}}\right)$ داریم $\cos \mathrm{۳}x<\mathrm{۰}$ و $f^{\prime }(x)>\mathrm{۰}$ است و تابع صعودی می‌شود.

گزینهٔ $\mathrm{۳}$ $(-\frac{\pi }{\mathrm{۴}})$ در بازهٔ $\left(-\frac{\pi }{\mathrm{۲}},-\frac{\pi }{\mathrm{۶}}\right)$ است و درست نیست.