ریاضی سؤال ۱۲۴ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

شرط پیوستگی $g$ در $x=-\mathrm{۱}$ و شرط برخورد با محور $x$ها، مقدار $a$ را مشخص می‌کنند. ابتدا وارون $f$ را می‌نویسیم (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۱}$: تابع وارون؛ ریاضی $\mathrm{۲}$، فصل $\mathrm{۶}$: پیوستگی). برای تعریف $f$ باید $a\ne \mathrm{۰}$ باشد.

دو ضابطهٔ $g$ خطی‌اند و در سمت خودشان پیوسته‌اند. پس $g$ در $x=-\mathrm{۱}$ پیوسته است، اگر مقدار دو ضابطه در $x=-\mathrm{۱}$ برابر باشد:

پس $a=-\mathrm{۲}$ یا $a=\mathrm{۱}$ است. حالا شرط برخورد با محور $x$ها را بررسی می‌کنیم. ضابطهٔ $f^{-\mathrm{۱}}(x)=\frac{a(x-\mathrm{۱})}{\mathrm{۲}}$ فقط در $x=\mathrm{۱}$ صفر می‌شود و $x=\mathrm{۱}$ در شرط $x<-\mathrm{۱}$ نیست، پس نمودار $g$ در این بخش محور را قطع نمی‌کند. برخورد از ضابطهٔ $f$ است:

این نقطه باید در سمت مثبت محور باشد، یعنی $-\frac{a}{\mathrm{۲}}>\mathrm{۰}$ و در نتیجه $a<\mathrm{۰}$ است. برای $a=\mathrm{۱}$ برخورد در $x=-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ است که منفی است و رد می‌شود. پس $a=-\mathrm{۲}$ است، $f(x)=\mathrm{۱}-x$ و $f^{-\mathrm{۱}}(x)=\mathrm{۱}-x$ می‌شود و