ریاضی سؤال ۱۲۷ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۲

قرار می‌دهیم $g(x)=\mathrm{۲}{x}^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۹}x+a$ و $f=|g|$. طبق تعریف کتاب، مینیمم نسبی در $x=c$ یعنی همسایگی‌ای از $c$ در دامنه که $f(c)$ در آن کمترین مقدار باشد. پس دو سر بازه، $x=\mathrm{۱}$ و $x=\mathrm{۴}$، مینیمم نسبی نیستند (در «کار در کلاس» کتاب هم نقطه‌های دو سر بازهٔ تعریف، اکسترمم نسبی شمرده نشده‌اند) و فقط نقطه‌های درون $(\mathrm{۱},\mathrm{۴})$ را بررسی می‌کنیم (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۵}$: اکسترمم‌های تابع).
رأس سهمی $g$ در $x=\frac{\mathrm{۹}}{\mathrm{۴}}$ است که درون $(\mathrm{۱},\mathrm{۴})$ قرار دارد و دهانهٔ سهمی رو به بالاست. مقدار $g$ در رأس:

اگر $a\ge \frac{\mathrm{۸۱}}{\mathrm{۸}}$ باشد، $g\ge \mathrm{۰}$ است و $f=g$ فقط یک مینیمم نسبی در رأس دارد. پس باید $a<\frac{\mathrm{۸۱}}{\mathrm{۸}}$ باشد.
در این حالت $g$ دو ریشه دارد، رأس برای $f$ ماکزیمم نسبی است و هر ریشهٔ درون $(\mathrm{۱},\mathrm{۴})$ مینیمم نسبی $f$ است، زیرا $f=\mathrm{۰}$ کمترین مقدار ممکن است و نمودار در آن نقطه گوشه دارد. پس دو مینیمم نسبی وقتی داریم که هر دو ریشه در $(\mathrm{۱},\mathrm{۴})$ باشند. چون رأس درون بازه است و $g$ در رأس منفی است، این شرط با مثبت بودن $g$ در دو سر بازه برابر است:

برای $a=\mathrm{۷}$ داریم $g(x)=(\mathrm{۲}x-\mathrm{۷})(x-\mathrm{۱})$ با ریشه‌های $\mathrm{۱}$ و $\frac{\mathrm{۷}}{\mathrm{۲}}$. ریشهٔ $x=\mathrm{۱}$ سر بازه است و مینیمم نسبی نیست، پس این مقدار فقط یک مینیمم نسبی دارد و پذیرفته نمی‌شود.
سه مقدار طبیعی $\mathrm{۸}$ و $\mathrm{۹}$ و $\mathrm{۱۰}$ شرط را دارند.