ریاضی سؤال ۱۲۸ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا $a$ را از شرط قرار داشتن نقطه روی نمودار پیدا می‌کنیم. سپس شیب مماس را از مشتق به دست می‌آوریم، معادلهٔ خط را می‌نویسیم و برخورد آن را با محورها می‌یابیم (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۴}$: مشتق و خط مماس).
نقطهٔ $(a,a)$ روی نمودار است، پس $a=\sqrt{\mathrm{۲}-a}$ و در نتیجه $a\ge \mathrm{۰}$ است. دو طرف را به توان دو می‌رسانیم:

مقدار $a=-\mathrm{۲}$ شرط $a\ge \mathrm{۰}$ را ندارد و در معادلهٔ اصلی هم صدق نمی‌کند، چون $\sqrt{\mathrm{۴}}=\mathrm{۲}\ne -\mathrm{۲}$ است. پس $a=\mathrm{۱}$ و نقطهٔ تماس $(\mathrm{۱},\mathrm{۱})$ است. مشتق و شیب مماس:

برخورد با محورها:

مثلث $OAB$ در $O$ قائم‌الزاویه است: