ریاضی سؤال ۱۲۹ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۱

مسئلهٔ بهینه‌سازی است (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۵}$: بهینه‌سازی). مساحت را برحسب یک متغیر می‌نویسیم، مشتق می‌گیریم و بیشترین مقدار را در بازهٔ مجاز پیدا می‌کنیم.
ضابطهٔ منحنی $y=\mathrm{۴}{x}^{\mathrm{۲}}-\mathrm{۱۲}x+\mathrm{۹}=(\mathrm{۲}x-\mathrm{۳}{)}^{\mathrm{۲}}$ است. این سهمی محور $y$ها را در $(\mathrm{۰},\mathrm{۹})$ می‌بُرد و بر محور $x$ها در $(\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}},\mathrm{۰})$ مماس است. ناحیهٔ بین محورها و منحنی، $\mathrm{۰}\le x\le \frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}}$ است. مستطیل یک رأس در مبدأ، دو رأس روی محورها و یک رأس $(x,y)$ روی منحنی دارد. پس طول و عرض آن $x$ و $(\mathrm{۳}-\mathrm{۲}x{)}^{\mathrm{۲}}$ است و $x$ در بازهٔ $\left(\mathrm{۰},\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}}\right)$ تغییر می‌کند:

مقدار $x=\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}}$ سر بازه است و مساحت در آن صفر می‌شود. در $\mathrm{۰}<x<\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ هر دو عامل مثبت‌اند و $S^{\prime }>\mathrm{۰}$ است. در $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}<x<\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}}$ عامل $\mathrm{۳}-\mathrm{۲}x$ مثبت و $\mathrm{۳}-\mathrm{۶}x$ منفی است و $S^{\prime }<\mathrm{۰}$ می‌شود. پس $S$ در $x=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ بیشینه است: