ریاضی سؤال ۱۳۱ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

پرسش، احتمال یک پیشامد در فضای نمونهٔ هم‌شانس است (ریاضی $\mathrm{۱}$، فصل $\mathrm{۷}$: آمار و احتمال). اگر عدد تابلوی دانش‌آموز اول $a$ و عدد تابلوی دومی $b$ باشد، هر زوج مرتب $(a,b)$ یک عضو فضای نمونه است. بنا بر اصل ضرب، هر دانش‌آموز $\mathrm{۸}$ انتخاب دارد:

پیشامد $A$ یعنی $b$ مضرب $a$ باشد و پیشامد $B$ یعنی $a$ مضرب $b$ باشد. هر عدد مضرب خودش است، پس زوج‌های $a=b$ هم مطلوب‌اند. برای $a=\mathrm{۱},\mathrm{۲},\dots ,\mathrm{۸}$ به ترتیب $\mathrm{۸}$، $\mathrm{۴}$، $\mathrm{۲}$، $\mathrm{۲}$، $\mathrm{۱}$، $\mathrm{۱}$، $\mathrm{۱}$ و $\mathrm{۱}$ عدد از مجموعهٔ $\{\mathrm{۱},\mathrm{۲},\dots ,\mathrm{۸}\}$ مضرب $a$ است:

به همین ترتیب $n(B)=\mathrm{۲۰}$ است. دو پیشامد با هم وقتی رخ می‌دهند که هر یک از دو عدد مضرب دیگری باشد، یعنی $a=b$:

برنده شدن یعنی رخ دادن $A$ یا $B$. برای اجتماع دو پیشامد، زوج‌های مشترک را یک بار حساب می‌کنیم: