ریاضی سؤال ۱۳۳ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۴

پرسش از تشابه مثلث‌ها و قضیهٔ فیثاغورس است (ریاضی $\mathrm{۲}$، فصل $\mathrm{۲}$: هندسه). علامت‌های روی $AC$ نشان می‌دهند این پاره‌خط به سه قسمت مساوی تقسیم شده است. نقطهٔ بدون نام را $P$ می‌نامیم، پس $AM=MP=PC$ و:

$EM$ و $BC$ هر دو بر $EN$ عمودند، پس $EM\parallel BC$ است. در دو مثلث $AEM$ و $ABC$ زاویهٔ $A$ مشترک است و زاویه‌های $E$ و $B$ متناظرند و برابرند، پس مثلث‌ها متشابه‌اند و نسبت تشابه $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳}}$ است:

ارتفاع‌های متناظر دو مثلث متشابه نیز به همین نسبت‌اند. ارتفاع مثلث $AEM$ از رأس $A$ برابر $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳}}AD=\mathrm{۲}$ است. $EN$ فاصلهٔ دو خط موازی $EM$ و $BC$ است:

مثلث $EMN$ در رأس $E$ قائم‌الزاویه است. با قضیهٔ فیثاغورس: