ریاضی سؤال ۱۳۴ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۳

پرسش از ویژگی نیمساز زاویه و مثلث متساوی‌الساقین است (ریاضی $\mathrm{۲}$، فصل $\mathrm{۲}$: هندسه). $H$ را پای عمود از $B$ بر خط $AD$ می‌گیریم، که $DC$ روی آن است. چون $B$ روی نیمساز زاویهٔ $A$ است، $\widehat{BAE}=\widehat{BAH}$ است. دو مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABE$ و $ABH$ وتر مشترک $AB$ و زاویهٔ حادهٔ برابر دارند، پس همنهشت‌اند. این همان ویژگی نیمساز است: هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. در نتیجه فاصلهٔ $B$ از خط $AD$ برابر $BE=\mathrm{۵}$ است:

$BH$ ارتفاع مثلث $BDC$ وارد بر $DC$ است. چون $BC=BD$ است، مثلث $BDC$ متساوی‌الساقین است و ارتفاع وارد بر قاعده، میانه هم هست:

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $BHD$ با قضیهٔ فیثاغورس: