ریاضی سؤال ۱۳۵ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۱

قطرهای بیضی در کتاب، قطر بزرگ و قطر کوچک آن هستند. این دو قطر در مرکز بیضی همدیگر را قطع می‌کنند و بر هم عمودند (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۶}$: هندسه). پس دو خط داده‌شده بر هم عمودند و حاصل‌ضرب شیب‌های آنها $-\mathrm{۱}$ است. اگر $a=\mathrm{۰}$ باشد، خط دوم $x=\mathrm{۱}$ است که بر خط $y=x+\mathrm{۳}$ عمود نیست. پس $a\ne \mathrm{۰}$ و شیب خط دوم از $y=\frac{\mathrm{۲}}{a}x-\frac{\mathrm{۲}}{a}$ برابر $\frac{\mathrm{۲}}{a}$ است:

معادلهٔ خط دوم $-\mathrm{۲}y-\mathrm{۲}x=-\mathrm{۲}$ یعنی $x+y=\mathrm{۱}$ است. مرکز بیضی محل برخورد دو قطر است:

مرکز بیضی $O(-\mathrm{۱},\mathrm{۲})$ است. برای پیدا کردن محل برخورد قطرها با محور $x$‌ها، $y=\mathrm{۰}$ قرار می‌دهیم. خط $y=x+\mathrm{۳}$ محور را در $x=-\mathrm{۳}$ و خط $x+y=\mathrm{۱}$ آن را در $x=\mathrm{۱}$ قطع می‌کند.
رئوس مثلث $O(-\mathrm{۱},\mathrm{۲})$ و $P(-\mathrm{۳},\mathrm{۰})$ و $Q(\mathrm{۱},\mathrm{۰})$ هستند. قاعدهٔ $PQ$ روی محور $x$‌ها است و ارتفاع مثلث، فاصلهٔ $O$ تا این محور یعنی $|۲|=\mathrm{۲}$ است: