ریاضی سؤال ۱۳۶ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۴

پرسش از وضعیت دو دایره نسبت به هم است (ریاضی $\mathrm{۳}$، فصل $\mathrm{۶}$: هندسه). دو دایره وقتی مماس درون‌اند که فاصلهٔ مرکزها برابر تفاضل شعاع‌ها باشد. مرکز دایرهٔ $C$ را $M(\alpha ,\alpha )$ می‌نامیم و معادلهٔ دایرهٔ دوم را به شکل استاندارد می‌نویسیم:

مرکز آن $N\left(\mathrm{۱},\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}\right)$ و شعاعش $r^{\prime }=\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}}$ است. دایرهٔ $C$ شعاع بزرگ‌تر $r=\mathrm{۴}$ دارد، پس دایرهٔ دوم درون آن است:

نقطهٔ تماس $T$ روی نیم‌خطی است که از $M$ به سمت $N$ می‌رود و فاصلهٔ آن از $M$ برابر شعاع $\mathrm{۴}$ است. بردار یکه در این جهت $\frac{\overrightarrow{MN}}{MN}$ است. برای $\alpha =\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۲}}$ داریم $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}},-\mathrm{۲}\right)$ و بردار یکه $\left(-\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۵}},-\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}}\right)$ است:

این نقطه در ناحیهٔ چهارم است ($x>\mathrm{۰}$ و $y<\mathrm{۰}$). برای $\alpha =-\mathrm{۱}$ داریم $\overrightarrow{MN}=\left(\mathrm{۲},\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۲}}\right)$ و بردار یکه $\left(\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۵}},\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۵}}\right)$ است:

این نقطه در ناحیهٔ اول است و شرط پرسش را ندارد، پس $\alpha =-\mathrm{۱}$ قابل قبول نیست. بنابراین $\alpha =\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۲}}$ است و فاصلهٔ مرکز از مبدأ برابر است با: