ریاضی سؤال ۱۳۷ کنکور ۱۴۰۵

پاسخ: گزینهٔ ۲

عدد $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۵}}$ در بازهٔ $[p,q)$ است، اگر $p\le \frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۵}}<q$ باشد (ریاضی $\mathrm{۱}$، فصل $\mathrm{۴}$: نامعادله‌ها و تعیین علامت؛ فصل $\mathrm{۱}$: بازه). دو شرط را جدا بررسی می‌کنیم.
شرط اول: چون $a$ طبیعی است، $\mathrm{۳}a+\mathrm{۱}>\mathrm{۰}$ است و با ضرب دو طرف در $\mathrm{۵}(\mathrm{۳}a+\mathrm{۱})$ جهت نامساوی عوض نمی‌شود:

شرط دوم: از شرط اول $a\ge \mathrm{۲}$ است، پس $\mathrm{۲}a-\mathrm{۳}\ge \mathrm{۱}$ مثبت است و می‌توانیم طرفین وسطین کنیم:

هر دو شرط با هم یعنی $\mathrm{۲}\le a<\mathrm{۴}$ و مقدارهای طبیعی $a=\mathrm{۲}$ و $a=\mathrm{۳}$ است. بررسی:

برای $a=\mathrm{۴}$ بازه $\left[\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۱۳}},\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۵}}\right)$ است و $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۵}}$ سر باز این بازه است، پس در آن نیست. برای $a=\mathrm{۱}$ نیز بازه $\left[\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۴}},-\mathrm{۱}\right)$ تهی است. اگر $\mathrm{۰}$ را هم طبیعی بگیریم، $a=\mathrm{۰}$ بازهٔ تهی $\left[\mathrm{۱},-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳}}\right)$ می‌دهد و پاسخ تغییر نمی‌کند. پس $\mathrm{۲}$ مقدار وجود دارد.