مجانب‌های قائم و افقی: حسابان ۲، فصل ۳

ایده

مجانب افقی: حد $f$ را در $+ \infty$ و در $- \infty$ بگیر؛ هر کدام عدد $L$ شد، $y = L$ مجانب افقی است و قدرمطلق ممکن است دو مقدار بدهد. مجانب قائم: ریشه‌های مخرج را پیدا کن و در هر ریشه حد یک‌طرفه بگیر؛ اگر $\pm \infty$ شد، آن خط مجانب قائم است. ریشه‌ای که صورت را هم صفر می‌کند با ساده کردن بررسی می‌شود، چون ممکن است مجانب نباشد.

x \to \pm \infty lim f (x) = L \Rightarrow y = L, x \to a^{\pm} lim f (x) = \pm \infty \Rightarrow x = a

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۱۱/۵ نمره

مجانب‌های قائم و افقی نمودار تابع $f (x) = \frac{۵ x + ۲}{x ^{۲} - ۴}$ را در صورت وجود به‌دست آورید. (راه‌حل نوشته شود.)

برای مجانب افقی، حد را در $\pm \infty$ با جملهٔ پرتوانِ صورت و مخرج بگیر.۰/۵ نمره
$x \to \pm \infty lim \frac{۵ x + ۲}{x ^{۲} - ۴} = x \to \pm \infty lim \frac{۵ x}{x ^{۲}} = ۰ \Rightarrow y = ۰$
برای مجانب قائم، مخرج را صفر کن و ببین ریشه‌ها صورت را هم صفر می‌کنند یا نه.
$x^{۲} - ۴ = ۰ \Rightarrow x = \pm ۲, ۵ (۲) + ۲ = ۱۲ \neq = ۰, ۵ (- ۲) + ۲ = - ۸ \neq = ۰$
در $x = ۲$ حد یک‌طرفه بگیر؛ نامتناهی شد، پس $x = ۲$ مجانب قائم است.۰/۵ نمره
$x \to ۲^{+} lim \frac{۵ x + ۲}{x ^{۲} - ۴} = \frac{۱۲}{۰ ^{+}} = + \infty \Rightarrow x = ۲$
در $x = - ۲$ هم حد یک‌طرفه بگیر.۰/۵ نمره
$x \to (- ۲)^{-} lim \frac{۵ x + ۲}{x ^{۲} - ۴} = \frac{- ۸}{۰ ^{+}} = - \infty \Rightarrow x = - ۲$

مجانب‌های قائم و افقی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۲۰

کنکور ۱