حدی که عدد می‌شود

نهایی: در ۱۸ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۰/۵ نمره

ایده

در کسر $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ با $x \to \pm \infty$ از صورت و مخرج جملهٔ با بزرگ‌ترین توان را نگه دار و ساده کن. اگر توان‌ها برابر باشند حد نسبت ضریب‌هاست و اگر توان مخرج بزرگ‌تر باشد حد صفر است. جمله‌هایی مثل $\frac{a}{x ^{n}}$ هم صفر می‌شوند، حد جمع و ضرب و تقسیم از حد جزءها به دست می‌آید و قدرمطلق را با توجه به علامت $x$ باز می‌کنی.

x \to \pm \infty lim \frac{a x ^{n} + \dots}{b x ^{n} + \dots} = \frac{a}{b}, x \to \pm \infty lim \frac{a}{x ^{n}} = ۰

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، عصر، سؤال ۹، بخش ب۰/۷۵ نمره

حاصل حدهای زیر را به‌دست آورید.

ب)

$x \to + \infty lim \frac{- ۳ x ^{۳} + ۴ x ^{۲}}{۱ - ۵ x ^{۳}}$

در صورت، جملهٔ با بزرگ‌ترین توان را نگه دار.۰/۲۵ نمره
$- ۳ x^{۳} + ۴ x^{۲} ⟶ - ۳ x^{۳}$
همین کار را در مخرج بکن.۰/۲۵ نمره
$۱ - ۵ x^{۳} ⟶ - ۵ x^{۳}$
توان‌ها برابرند؛ $x^{۳}$ ساده می‌شود و نسبت ضریب‌ها می‌ماند.۰/۲۵ نمره
$x \to + \infty lim \frac{- ۳ x ^{۳} + ۴ x ^{۲}}{۱ - ۵ x ^{۳}} = x \to + \infty lim \frac{- ۳ x ^{۳}}{- ۵ x ^{۳}} = \frac{۳}{۵}$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۸

۱۲ سؤال دیگر