پیدا کردن لحظه از روی آهنگ

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۷ نمره

ایده

مجهول یک لحظه یا یک نقطه است؛ پس شرط سؤال را به معادله‌ای بین $f^{'} (t)$ و یک عدد تبدیل کن. اگر سرعت یا آهنگ لحظه‌ای را با متوسط بازهٔ $[a, b]$ برابر کرده‌اند، اول آهنگ متوسط را به عدد برسان و بعد معادله را حل کن. اگر «کمتر» یا «بیشتر» گفته‌اند، نامعادله حل می‌شود. اگر سؤال گفته لحظه در همان بازه است، جواب باید در آن بازه باشد؛ زمان منفی هم پذیرفتنی نیست.

f^{'} (t) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

نمونهٔ نهایی

نهایی تیر ۱۴۰۵، سؤال ۱۴۱ نمره

توپی را از سطح زمین به طرف بالا پرتاب می‌کنیم. ارتفاع این توپ از سطح زمین در هر لحظه از معادلهٔ $h (t) = - ۵ t^{۲} + ۴۰ t$ به‌دست می‌آید. درچه زمانی از بازهٔ $[۰, ۵]$ ( $t$ برحسب ثانیه) سرعت لحظه‌ای توپ دو برابر سرعت متوسط آن است؟

سرعت لحظه‌ای مشتق ارتفاع است؛ از $h (t) = - ۵ t^{۲} + ۴۰ t$ مشتق بگیر.۰/۲۵ نمره
$h^{'} (t) = - ۱۰ t + ۴۰$
سرعت متوسط در $[۰, ۵]$ را حساب کن؛ عددش را برای معادله لازم داری.۰/۲۵ نمره
$\frac{h ( ۵ ) - h ( ۰ )}{۵ - ۰} = \frac{- ۱۲۵ + ۲۰۰}{۵} = ۱۵$
شرط سؤال را معادله کن: سرعت لحظه‌ای دو برابر سرعت متوسط است.۰/۲۵ نمره
$- ۱۰ t + ۴۰ = ۲ \times ۱۵$
معادله را حل کن و ببین جواب در بازهٔ $[۰, ۵]$ است.۰/۲۵ نمره
$- ۱۰ t = - ۱۰ \Rightarrow t = ۱$

پیدا کردن لحظه از روی آهنگ

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶