مشتق از روی نمودار: حسابان ۲، فصل ۴

ایده

مشتق در نقطهٔ $a$ همان شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه است: مماسِ رو به بالا شیب مثبت دارد، مماسِ رو به پایین شیب منفی و مماسِ افقی شیب صفر. پس هر شیب منفی از هر شیب مثبت کوچک‌تر است و از دو مماسِ رو به بالا، تندتر شیب بزرگ‌تری دارد. اگر خط مماس رسم شده، شیب را از دو نقطهٔ آن بخوان: $f^{'} (a) = \frac{y _{۲} - y _{۱}}{x _{۲} - x _{۱}}$ . در نقطهٔ گوشه‌ای نمودار مماس ندارد و تابع مشتق‌پذیر نیست.

f (x) = \frac{۱}{۲} (x^{۳} - ۳ x)

نقطه را ببر: شیب کجا صفر، مثبت یا منفی است؟

x = −۱/۸شیب مماس ۳/۳۶

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۴، سؤال ۱۱۱ نمره

در شکل روبرو نمودار توابع $f$ و $g$ رسم شده و خط $d$ بر هر دو نمودار مماس است. مقدار $\frac{g ^{'} ( ۴ )}{g ( ۴ ) f ^{'} ( ۲ )}$ را به‌دست آورید.

نمودار توابع f و g و خط d که در نقطه‌هایی به طول ۲ و ۴ بر هر دو نمودار مماس است

خط $d$ از نقطهٔ تماس با $f$ یعنی $(۲, ۴)$ و از نقطهٔ تماس با $g$ یعنی $(۴, ۲)$ می‌گذرد. شیبش را از این دو نقطه حساب کن.۰/۲۵ نمره
$m_{d} = \frac{۴ - ۲}{۲ - ۴} = - ۱$
$d$ در $x = ۴$ بر $g$ مماس است، پس شیب $d$ همان $g^{'} (۴)$ است.۰/۲۵ نمره
$g^{'} (۴) = - ۱$
$d$ در $x = ۲$ بر $f$ مماس است، پس $f^{'} (۲)$ هم همین شیب است.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (۲) = - ۱$
$g (۴) = ۲$ را از شکل بخوان و در عبارت بگذار.۰/۲۵ نمره
$\frac{g ^{'} ( ۴ )}{g ( ۴ ) f ^{'} ( ۲ )} = \frac{- ۱}{۲ \times ( - ۱ )} = \frac{۱}{۲}$

مشتق از روی نمودار

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۲۵

کنکور ۱