نقطه با دو شرط، یکی دایره

نهایی: در ۷ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۱۰/۵ نمره

ایده

هر شرط را به یک مکان هندسی ترجمه کن و هر دو را رسم کن. «به فاصلهٔ $k$ از نقطهٔ $C$ » دایره‌ای به مرکز $C$ و شعاع $k$ است، «از $A$ و $B$ هم‌فاصله» عمودمنصف $A B$ است و «به فاصلهٔ $k$ از خط $d$ » دو خط موازی $d$ در دو طرف آن. نقطه‌های برخورد جواب‌اند. برای بحث، هر خط را با دایره بسنج: قطع‌کننده دو نقطه می‌دهد، مماس یک نقطه و بدون برخورد هیچ نقطه.

نمونهٔ نهایی

نهایی دی ۱۴۰۳، سؤال ۷۱/۵ نمره

نقاط $A$ و $B$ و $C$ در یک صفحه مفروض‌اند. نقطه‌ای بیابید که از نقاط $A$ و $B$ به یک فاصله بوده و از نقطه $C$ به فاصله $۲$ سانتی‌متر باشد (در مورد تعداد جواب‌ها ی ممکن بحث کنید).

مکان نقطه‌های هم‌فاصله از $A$ و $B$ را بنویس.۰/۲۵ نمره
$M A = M B \Rightarrow M \in d, d = A B عمودمنصف$
مکان نقطه‌هایی که از $C$ به فاصلهٔ $۲$ سانتی‌متراند را بنویس.۰/۲۵ نمره
$M C = ۲ \Rightarrow M \in ۲ و شعاع C دایره‌ای به مرکز$
نقطه‌های برخورد خط و دایره، جواب مسئله‌اند.۰/۲۵ نمره
$جواب‌ها = d \cap دایره$
اگر $d$ دایره را قطع کند، مسئله دو جواب دارد.۰/۲۵ نمره
$d از C فاصلهٔ < ۲ \Rightarrow دو جواب$
اگر $d$ بر دایره مماس باشد، مسئله یک جواب دارد.۰/۲۵ نمره
$d از C فاصلهٔ = ۲ \Rightarrow یک جواب$
اگر $d$ دایره را قطع نکند، مسئله جواب ندارد.۰/۲۵ نمره
$d از C فاصلهٔ > ۲ \Rightarrow بدون جواب$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۷

۱ سؤال دیگر

نهایی شهریور ۱۳۹۸، سؤال ۷۱/۵ نمره