هم‌صفحه بودن سه بردار

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۴ نمره

ایده

سه بردار در یک صفحه‌اند اگر و فقط اگر حجم متوازی‌السطوحی که می‌سازند صفر باشد، یعنی $a \cdot (b \times c)$ یا دترمینان $۳ \times ۳$ آن‌ها صفر شود. اگر پارامتری در بردارها هست، این عبارت را برحسب آن بنویس و برابر صفر بگذار؛ ترتیب بردارها در عبارت فرقی نمی‌کند، چون فقط علامت عوض می‌شود.

a \cdot (b \times c) = ۰

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۲، سؤال ۱۷۱/۵ نمره

اگر سه بردار $a = (m, - ۱, ۱)$ ، $b = (۱, - ۱, ۱)$ و $c = (۱, m, - ۱)$ در یک صفحه واقع باشند، مقدار $m$ را بیابید.

سه بردار هم‌صفحه‌اند وقتی حجم متوازی‌السطوحشان صفر است؛ دترمینان سه بردار را برابر صفر بگذار.۰/۷۵ نمره
$m ۱ ۱ - ۱ - ۱ m ۱ ۱ - ۱ = ۰$
دترمینان را از ردیف اول باز کن و معادله را ساده کن.۰/۵ نمره
$m (۱ - m) - ۲ + (m + ۱) = ۰ \Rightarrow - m^{۲} + ۲ m - ۱ = ۰ \Rightarrow m^{۲} - ۲ m + ۱ = ۰$
معادله مربع کامل است؛ ریشه را بنویس.۰/۲۵ نمره
$(m - ۱)^{۲} = ۰ \Rightarrow m = ۱$

هم‌صفحه بودن سه بردار

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵