اثبات دربارهٔ تصویر قائم

نهایی: در ۳ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۳/۷۵ نمره

ایده

اثبات‌های تصویر دو ابزار دارند. برای خودِ فرمول: $a^{'}$ را مضرب $b$ بگیر و عمود بودن $a - a^{'}$ بر $b$ را با ضرب داخلی صفر بنویس. برای حکمی دربارهٔ تصویر، مثل هم‌راستا بودن $a$ و $b$ (با $b \neq = ۰$ ): فرمول را بنویس و $a = r b$ را در آن بگذار.

(a - k b) \cdot b = ۰ \Rightarrow k = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{۲}}

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۲، سؤال ۱۵۱/۲۵ نمره

نشان دهید: تصویر قائم بردار $a$ روی بردار $b$ برابر $a^{'} = \frac{a . b}{∣ b ∣ ^{۲}} b$ است.

دو بردار a و b از یک مبدأ، تصویر قائم a' بر b (پررنگ) و پاره‌خط‌چین عمود از سر a بر b

روی شکل، $a^{'}$ روی امتداد $b$ است، پس مضربی از $b$ است.۰/۲۵ نمره
$a^{'} ∥ b \Rightarrow a^{'} = k b$
پاره‌خط‌چین شکل، یعنی $a - a^{'}$ ، بر $b$ عمود است؛ پس ضرب داخلی‌شان صفر است.۰/۲۵ نمره
$(a - a^{'}) ⊥ b \Rightarrow (a - a^{'}) \cdot b = ۰$
به‌جای $a^{'}$ بنویس $k b$ و ضرب داخلی را باز کن.۰/۲۵ نمره
$a \cdot b - (k b) \cdot b = ۰$
با $b \cdot b = ∣ b ∣^{۲}$ مقدار $k$ را پیدا کن.۰/۲۵ نمره
$k = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{۲}}$
$k$ را در $a^{'} = k b$ بگذار.۰/۲۵ نمره
$a^{'} = k b = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{۲}} b$

اثبات دربارهٔ تصویر قائم

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۳