محدود کردن دامنه و وارون تابع درجهٔ دوم

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۶ نمره

ایده

تابعی مثل $y = x^{۲}$ روی دامنهٔ کامل یک‌به‌یک نیست؛ اگر دامنه را به یک طرف رأس محدود کنند، یک‌به‌یک می‌شود و وارون دارد. برای ضابطهٔ وارون، عبارت را مربع کامل کن، $x$ را برحسب $y$ بیاب و علامت $\pm$ را با دامنهٔ $f$ انتخاب کن: برای $x \geq p$ علامت $+$ و برای $x \leq p$ علامت $-$ ( $p$ طول رأس است).

y = a (x - p)^{۲} + q \Rightarrow x = p \pm \frac{y - q}{a}

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۴، سؤال ۵۱/۲۵ نمره

تابع $f (x) = x^{۲} - ۶ x$ ، با دامنهٔ $(- \infty, ۳]$ را درنظر بگیرید و ضابطهٔ تابع وارون $f$ را به‌دست آورید.

عبارت را مربع کامل کن.۰/۲۵ نمره
$y = x^{۲} - ۶ x = (x - ۳)^{۲} - ۹$
$(x - ۳)^{۲}$ را تنها کن و جذر بگیر؛ چون $x \leq ۳$ است، $x - ۳ \leq ۰$ است و جذر برابر $- (x - ۳)$ می‌شود.۰/۵ نمره
$(x - ۳)^{۲} = y + ۹ \Rightarrow y + ۹ = - (x - ۳)$
$x$ را برحسب $y$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$x = ۳ - y + ۹$
جای $y$ را با $x$ عوض کن.۰/۲۵ نمره
$f^{- ۱} (x) = ۳ - x + ۹$

محدود کردن دامنه و وارون تابع درجهٔ دوم

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶