ریاضی ۳، فصل ۴، درس ۱

حدی که همان مشتق است

نهایی: در ۶ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۵/۷۵ نمره

ایده

حدی که شکلش با تعریف مشتق یکی است (با $h$ یا $Δ x$ )، خودِ $f^{'} (a)$ است، یعنی شیب مماس در $x = a$ :

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = h \to ۰ lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = f^{'} (a)

اگر ضریب مشترکی هست، بیرونش بکش. اگر عددی ثابت به‌جای $f (a)$ آمده، آن را $f (a)$ بنویس؛ مقدارش از نقطهٔ داده‌شده روی نمودار می‌آید.

نمونهٔ نهایی

نهایی مرداد ۱۴۰۵، سؤال ۸۱ نمره

خط $d$ از نقاط $A (۲, ۷)$ و $B (۱, ۴)$ می‌گذرد و در نقطهٔ $A$ بر نمودار تابع $f$ مماس است. حاصل $h \to ۰ lim \frac{f ( ۲ + h ) - ۷}{h}$ را بیابید.

شیب خط $d$ را از دو نقطهٔ آن حساب کن.۰/۲۵ نمره
$m = \frac{۷ - ۴}{۲ - ۱} = ۳$
چون $A (۲, ۷)$ روی نمودار $f$ است، $f (۲) = ۷$ ؛ عدد $۷$ را به‌صورت $f (۲)$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$h \to ۰ lim \frac{f ( ۲ + h ) - ۷}{h} = h \to ۰ lim \frac{f ( ۲ + h ) - f ( ۲ )}{h}$
این حد همان تعریف $f^{'} (۲)$ است.۰/۲۵ نمره
$= f^{'} (۲)$
خط $d$ در $A$ بر نمودار مماس است، پس شیبش $f^{'} (۲)$ است.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (۲) = m = ۳$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۶