انتخاب یک ظرف و برداشتن مهره

نهایی: در ۷ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۰/۲۵ نمرهکنکور: ۱ سؤال

ایده

هر ظرف یک حالت است و یکی از ظرف‌ها حتماً انتخاب می‌شود. وقتی ظرف‌ها یکسان‌اند و با چشم بسته یکی را برمی‌داریم، هر ظرف با احتمال $\frac{۱}{n}$ انتخاب می‌شود؛ اگر متن احتمال انتخاب را جور دیگری داده (مثلاً متناسب با شمار مهره‌ها)، همان را بگذار. احتمال مهرهٔ خواسته‌شده در هر ظرف، شمار آن مهره‌ها بر شمار همهٔ مهره‌های همان ظرف است؛ ظرفی که آن مهره را ندارد جملهٔ $۰$ می‌دهد.

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۸۱/۲۵ نمره

دو جعبهٔ یکسان داریم. درون یکی از آنها $۱۰$ لامپ قرار دارد که $۴$ تا از آنها معیوب است و درون جعبهٔ دیگر $۲۰$ لامپ قرار دارد که $۵$ تا از آنها معیوب‌اند. به تصادف جعبه‌ای انتخاب کرده و یک لامپ از آن به تصادف بیرون می‌آوریم. چقدر احتمال دارد لامپ انتخابی سالم باشد؟

سالم بودن لامپ را $A$ و جعبهٔ اول و دوم را $B_{۱}$ و $B_{۲}$ بنام و قانون احتمال کل را بنویس.
$P (A) = P (B_{۱}) P (A ∣ B_{۱}) + P (B_{۲}) P (A ∣ B_{۲})$
جعبه‌ها یکسان‌اند، پس هرکدام با احتمال $\frac{۱}{۲}$ انتخاب می‌شود؛ در جعبهٔ اول $۱۰ - ۴ = ۶$ لامپ از $۱۰$ لامپ سالم است.۰/۵ نمره
$P (B_{۱}) P (A ∣ B_{۱}) = \frac{۱}{۲} \times \frac{۶}{۱۰}$
در جعبهٔ دوم $۲۰ - ۵ = ۱۵$ لامپ از $۲۰$ لامپ سالم است.۰/۵ نمره
$P (B_{۲}) P (A ∣ B_{۲}) = \frac{۱}{۲} \times \frac{۱۵}{۲۰}$
دو جمله را جمع کن و ساده کن.۰/۲۵ نمره
$P (A) = \frac{۶}{۲۰} + \frac{۱۵}{۴۰} = \frac{۲۷}{۴۰} = ۰/۶۷۵$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۷

۱ سؤال دیگر

نهایی خرداد ۱۳۹۸، سؤال ۱۶۱/۷۵ نمره

کنکور ۱

کنکور تجربی ۱۴۰۲، نوبت اول، سؤال ۱۳۲