احتمال کل با گروه‌ها: ریاضی ۳، فصل ۷

ایده

همهٔ حالت‌ها به چند گروه ناسازگار تقسیم شده‌اند که یکی‌شان حتماً رخ می‌دهد (مرد یا زن، مدرسهٔ $A$ یا $B$ ، دو نوع کالا، بستهٔ سؤال، دانشگاه)، و احتمال پیشامد $C$ در هر گروه جدا داده شده است. اول سهم هر گروه از کل را بنویس (پسر یا دختر بودن نوزاد: هرکدام $\frac{۱}{۲}$ ). اگر نسبت یا شمار داده‌اند، آن را به سهم تبدیل کن؛ مثلاً « $A$ چهار برابر $B$ » یعنی $\frac{۴}{۵}$ و $\frac{۱}{۵}$ . بعد هر سهم را در احتمال $C$ در همان گروه ضرب کن و جمع بزن.

P (C) = P (A_{۱}) P (C ∣ A_{۱}) + P (A_{۲}) P (C ∣ A_{۲}) + \dots

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، عصر، سؤال ۱۷۱/۵ نمره

جمعیت بزرگسال یک شهر $۴۰$ درصد زن و $۶۰$ درصد مرد هستند. می‌دانیم که $۱۰$ درصد زنان بزرگسال و $۱۵$ درصد مردان بزرگسال تحصیلات تکمیلی دارند. اگر بزرگسالی را از این شهر به تصادف انتخاب کنیم، احتمال اینکه تحصیلات تکمیلی داشته باشد، چقدر است؟

زن بودن را $A$ ، مرد بودن را $B$ و داشتن تحصیلات تکمیلی را $C$ بنام و قانون احتمال کل را بنویس.
$P (C) = P (A) \times P (C ∣ A) + P (B) \times P (C ∣ B)$
سهم زنان را بنویس: احتمال زن بودن ضرب در احتمال تحصیلات تکمیلی میان زنان.۰/۵ نمره
$P (A) \times P (C ∣ A) = \frac{۴۰}{۱۰۰} \times \frac{۱۰}{۱۰۰}$
سهم مردان را با همین روش بنویس.۰/۵ نمره
$P (B) \times P (C ∣ B) = \frac{۶۰}{۱۰۰} \times \frac{۱۵}{۱۰۰}$
دو سهم را با هم جمع کن.۰/۲۵ نمره
$P (C) = \frac{۴۰}{۱۰۰} \times \frac{۱۰}{۱۰۰} + \frac{۶۰}{۱۰۰} \times \frac{۱۵}{۱۰۰}$
حاصل را حساب کن.۰/۲۵ نمره
$P (C) = \frac{۴}{۱۰۰} + \frac{۹}{۱۰۰} = \frac{۱۳}{۱۰۰} = ۰/۱۳$

احتمال کل با گروه‌ها

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۳

کنکور ۱