شمارش و اتحادهای ترکیبیاتی

در قطعه‌برنامه زیر، دستور x++; چند بار اجرا می‌شود؟ x = 0; for(i = 1; i <= n; i++) for(j = 1; j <= i; j++) for (k = 1; k <= j; k++) for(t = 1; t <= k; t++) x++;

در یک شبکه کامپیوتری ۷ نود (گره) داریم و می‌خواهیم ۱۲ بسته داده را بین این نودها توزیع کنیم به‌طوری‌که هر نود، حداقل ۱ بسته داده دریافت کند، چند روش مختلف برای توزیع بسته‌ها به نودها وجود دارد؟

کوچک‌ترین مقدار m چقدر است، به‌طوری‌که در هر زیرمجموعه m عضوی از مجموعه 1,2,⋯,60 ، سه عدد a، b و c موجود باشند و a+b+c مضرب ۴ باشد؟

۲۰ مشتری بانک به چند طریق می‌توانند جلوی ۲ باجه صف تشکیل دهند، هرگاه در هر باجه حداقل ۱ نفر ایستاده باشد؟ (جلوی هر باجه، حداقل ۱ و حداکثر ۱۹ نفر می‌توانند بایستند و مجموع افراد ۲ صف، همان ۲۰ مشتری…

در چند زیرمجموعه از X= 1,2,⋯,20 ، تعداد اعضای زیرمجموعه یا مجموع اعضای زیرمجموعه، زوج است؟

دستگاه معادلات زیر در مجموعه اعداد‌طبیعی، چند دسته جواب دارد؟ x + y + z = ۱۰ = a + b + c + d

یک مربع به ضلع ۱۰ را به مربعات واحد افراز کرده‌ایم. هر مربع ۳×۳ را در آن، یک رأس گراف G درنظر بگیرید. دو رأس مجاورند، اگر سطح دو مربع متناظرشان ناحیه مشترک نداشته باشند. مقادیر مینیمم درجه و ماکزیمم…

گراف دوری C_10 را درنظر بگیرید. گراف جدید G را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: هر مسیر به‌طول ۳ در C_10 را یک رأس G در نظر می‌گیریم و دو رأس G مجاورند هرگاه مسیرهای متناظر یال مشترک نداشته باشند. گراف G…

به‌ازای چه تعداد عدد طبیعی n ≤ ۳۵۰۰ ، تساوی sin(nθ) + icos(nθ) = (sinθ + icosθ)^n ، برقرار است؟

۱۰ دایره با اندازه‌های متفاوت در صفحه رسم کرده‌ایم. حداکثر چند نقطه تقاطع از برخورد آنها در صفحه ایجاد می‌شود؟

می‌خواهیم ۱۰ دانشجو را به ۵ گروه نامتمایز دو نفره تقسیم کنیم. اگر دو دانشجوی A و B نخواهند با هم در یک تیم باشند، چند انتخاب برای تیم‌ها وجود دارد؟

دستگاه معادلات x + y + z = a + b + c = 10 در مجموعه اعداد صحیح نامنفی با شرط x < a چند دسته جواب دارد؟

چند عدد ۸ رقمی با ارقام ۲، ۳، ۴ وجود دارد، به‌طوری که مجموع ارقام آن زوج باشد؟

در یک آزمون ۱۰ سؤال ۵ گزینه‌ای مطرح شده است. یک برگه پاسخنامه حاوی ۲ پاسخ درست، ۳ سؤال بـدون پاسخ و ۵ سؤال با پاسخ نادرست است. چند حالت مختلف برای این برگه وجود دارد؟

می‌خواهیم زیرمجموعه‌ای از اعداد 1, 2, …, 10 انتخاب کنیم که هم تعداد اعضا و هم مجموع اعضای آن زوج باشد. چند انتخاب برای زیرمجموعه فوق وجود دارد؟

اگر n تاس را به‌طور همزمان پرتاب کنیم، چند حالت مختلف می‌تواند رخ دهد؟ (دو حالت از پرتاب تاس‌ها مختلف هستند، اگر به ازای حداقل یک عدد i ( ≤ i ≤ ۶ ۱)، تعداد تاس‌هایی که وجه بالایی آنها عدد i را نشان…

کدام‌یک از گزاره‌های زیر به‌ترتیب، درست است؟ الف) مجموعهٔ تمام دنباله‌های اکیداً صعودی از اعداد طبیعی شمارا است. ب) مجموعهٔ تمام دنباله‌های اکیداً نزولی از اعداد طبیعی شمارا است.

جایگشتی از اعداد ۱ تا n که در آن هیچ عدد i در محل iاُم قرار نگرفته باشد، یک پریش نامیده می‌شود. فرض کنید D_n برابر تعداد پریش‌های مختلف اعداد ۱ تا n باشد. کدام رابطهٔ بازگشتی برای D_n به‌ازای (n > 2)…

فرض کنید طول کوتاه‌ترین دور در گراف ساده G برابر ۵ باشد. همچنین فرض کنید درجه تمام رأس‌های G برابر k است. کدام مورد زیر همواره درست است؟

ضریب ab^۲c^۳d^۴ در بسط (۴a - ۳b + ۲c - d)^۱۰ ، کدام است؟

چند تا از مجموعه‌های زیر شمارا است؟ هر مجموعه از دایره‌های نامتقاطع با شعاع بزرگتر از صفر در صفحه هر مجموعه از دایره‌های نامتقاطع با شعاع واحد در صفحه هر مجموعه از دیسک‌های غیر هم‌پوشان با شعاع…

چند زوج از اعداد اول مانند (p,q) وجود دارد، طوری‌که عدد ۲^۲ + p^۲ + q^۲ اول باشد؟

فرض کنید a_n برابر با تعداد اعداد حداکثر n رقمی در مبنای ۵ باشد که تعداد رقم‌های یکِ آن زوج است. در این صورت a_n در کدام یک از رابطه‌های بازگشتی زیر صدق می‌کند؟

تعداد راه‌های چیدمان ۵ کتاب مختلف در ۳ قفسه، به‌طوری‌که هیچ قفسه‌ای خالی نماند، کدام است؟

چند تا از اعداد ۲ تا ۱۰۰۰ مربع کامل یا مکعب کامل یا ... یا به‌صورت توانی بزرگ‌تر از یک از یک عدد طبیعی است؟

تعداد رشته‌های n بیتی ارقام صفر و یک که دقیقاً k تا صفر دارند و در آنها هیچ دو صفری متوالی نیستند، برابر کدام مورد است؟