ریاضیات گسستهDiscrete Mathematics

در قطعه‌برنامه زیر، دستور x++; چند بار اجرا می‌شود؟ x = 0; for(i = 1; i <= n; i++) for(j = 1; j <= i; j++) for (k = 1; k <= j; k++) for(t = 1; t <= k; t++) x++;

در یک شبکه کامپیوتری ۷ نود (گره) داریم و می‌خواهیم ۱۲ بسته داده را بین این نودها توزیع کنیم به‌طوری‌که هر نود، حداقل ۱ بسته داده دریافت کند، چند روش مختلف برای توزیع بسته‌ها به نودها وجود دارد؟

نقیض گزاره زیر چیست؟ اگر آن ترک شیرازی به‌دست آرد دل ما را به خال هندویش بخشم سمرقند و بخارا را

فرض کنید A = ۱, ۲, ۳, ۴, ۵ و R یک رابطه روی A باشد که با گراف جهت‌دار زیر نشان داده شده است. کدام مورد درخصوص R صحیح است؟ (چنانچه یالی از گره i به گره j وجود داشته باشد i با j رابطه R دارد.)

اگر f(x) تابع مولد معمولی دنباله n! باشد، تابع مولد معمولی دنباله n(n!) کدام است؟

جواب رابطه بازگشتی روبه‌رو، کدام است؟ a_n = n a_(n-1) + n! , a_1 = 1

کوچک‌ترین مقدار m چقدر است، به‌طوری‌که در هر زیرمجموعه m عضوی از مجموعه 1,2,⋯,60 ، سه عدد a، b و c موجود باشند و a+b+c مضرب ۴ باشد؟

۲۰ مشتری بانک به چند طریق می‌توانند جلوی ۲ باجه صف تشکیل دهند، هرگاه در هر باجه حداقل ۱ نفر ایستاده باشد؟ (جلوی هر باجه، حداقل ۱ و حداکثر ۱۹ نفر می‌توانند بایستند و مجموع افراد ۲ صف، همان ۲۰ مشتری…

در چند زیرمجموعه از X= 1,2,⋯,20 ، تعداد اعضای زیرمجموعه یا مجموع اعضای زیرمجموعه، زوج است؟

دستگاه معادلات زیر در مجموعه اعداد‌طبیعی، چند دسته جواب دارد؟ x + y + z = ۱۰ = a + b + c + d

یک مربع به ضلع ۱۰ را به مربعات واحد افراز کرده‌ایم. هر مربع ۳×۳ را در آن، یک رأس گراف G درنظر بگیرید. دو رأس مجاورند، اگر سطح دو مربع متناظرشان ناحیه مشترک نداشته باشند. مقادیر مینیمم درجه و ماکزیمم…

گراف دوری C_10 را درنظر بگیرید. گراف جدید G را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: هر مسیر به‌طول ۳ در C_10 را یک رأس G در نظر می‌گیریم و دو رأس G مجاورند هرگاه مسیرهای متناظر یال مشترک نداشته باشند. گراف G…

به‌ازای چه تعداد عدد طبیعی n ≤ ۳۵۰۰ ، تساوی sin(nθ) + icos(nθ) = (sinθ + icosθ)^n ، برقرار است؟

۱۰ دایره با اندازه‌های متفاوت در صفحه رسم کرده‌ایم. حداکثر چند نقطه تقاطع از برخورد آنها در صفحه ایجاد می‌شود؟

می‌خواهیم ۱۰ دانشجو را به ۵ گروه نامتمایز دو نفره تقسیم کنیم. اگر دو دانشجوی A و B نخواهند با هم در یک تیم باشند، چند انتخاب برای تیم‌ها وجود دارد؟

دستگاه معادلات x + y + z = a + b + c = 10 در مجموعه اعداد صحیح نامنفی با شرط x < a چند دسته جواب دارد؟

چند عدد ۸ رقمی با ارقام ۲، ۳، ۴ وجود دارد، به‌طوری که مجموع ارقام آن زوج باشد؟

در یک آزمون ۱۰ سؤال ۵ گزینه‌ای مطرح شده است. یک برگه پاسخنامه حاوی ۲ پاسخ درست، ۳ سؤال بـدون پاسخ و ۵ سؤال با پاسخ نادرست است. چند حالت مختلف برای این برگه وجود دارد؟

می‌خواهیم زیرمجموعه‌ای از اعداد 1, 2, …, 10 انتخاب کنیم که هم تعداد اعضا و هم مجموع اعضای آن زوج باشد. چند انتخاب برای زیرمجموعه فوق وجود دارد؟

اگر n تاس را به‌طور همزمان پرتاب کنیم، چند حالت مختلف می‌تواند رخ دهد؟ (دو حالت از پرتاب تاس‌ها مختلف هستند، اگر به ازای حداقل یک عدد i ( ≤ i ≤ ۶ ۱)، تعداد تاس‌هایی که وجه بالایی آنها عدد i را نشان…

کدام‌یک از هم‌ارزی‌های منطقی زیر، (به‌ترتیب الف و ب) همیشه برقرار است؟ الف) ¬(∃ x [P(x) ∧ Q(x)]) ≡ ∀ x [P(x) → ¬ Q(x)] ب) ((p → q) ∧ ((q ∧ r) → s) ∧ r) → (p → s) ≡ True

کدام‌یک از گزاره‌های زیر به‌ترتیب، درست است؟ الف) مجموعهٔ تمام دنباله‌های اکیداً صعودی از اعداد طبیعی شمارا است. ب) مجموعهٔ تمام دنباله‌های اکیداً نزولی از اعداد طبیعی شمارا است.

جایگشتی از اعداد ۱ تا n که در آن هیچ عدد i در محل iاُم قرار نگرفته باشد، یک پریش نامیده می‌شود. فرض کنید D_n برابر تعداد پریش‌های مختلف اعداد ۱ تا n باشد. کدام رابطهٔ بازگشتی برای D_n به‌ازای (n > 2)…

کدام‌یک از گزاره‌های زیر به‌ترتیب، درست است؟ الف) به‌ازای هر عدد طبیعی دلخواه مانند k ، اعداد 2k+1 و 9k+4 نسبت به هم اول هستند. ب) معادله (n-1)!+1=n^۲ در مجموعه اعداد طبیعی تنها یک جواب دارد.

رابطه‌ی R را روی مجموعه‌ی A در نظر بگیرید. با استفاده از R رابطه‌ی S را به شکل زیر تعریف می‌کنیم: xSy ⇔ xRy ∨ yRx کدام مورد در خصوص گزاره‌های زیر به‌ترتیب، درست است؟ الف) اگر R ترایایی باشد، آن‌گاه S…

فرض کنید طول کوتاه‌ترین دور در گراف ساده G برابر ۵ باشد. همچنین فرض کنید درجه تمام رأس‌های G برابر k است. کدام مورد زیر همواره درست است؟

ضریب ab^۲c^۳d^۴ در بسط (۴a - ۳b + ۲c - d)^۱۰ ، کدام است؟

اگر P(x) و Q(x) دو گزاره‌نما باشند، کدام عبارت منطقی زیر همیشه درست است؟ (الف) [∃ x(P(x)∧ Q(x))] leftrightarrow [(∃ xP(x))∧(∃ xQ(x))] (ب) [∀ x(P(x)→ Q(x))] → [(∃ xP(x))→(∀ xQ(x))]

چند تا از مجموعه‌های زیر شمارا است؟ هر مجموعه از دایره‌های نامتقاطع با شعاع بزرگتر از صفر در صفحه هر مجموعه از دایره‌های نامتقاطع با شعاع واحد در صفحه هر مجموعه از دیسک‌های غیر هم‌پوشان با شعاع…

تعداد راه‌های افراز نامرتب عدد ۵۶ به اعداد ۱ و ۲ و ۵ برابر با ضریب x^۵۶ در کدام‌یک از عبارات زیر است؟