تقویت‌کننده‌های فیدبک، زوج تفاضلی و CMRR

1. ایدهٔ اصلی

دو ستون طراحی آنالوگ در این مبحث به هم می‌رسند. زوج تفاضلی طبقهٔ ورودیِ همه‌منظوره است: تفاضل دو ورودی خود را تقویت می‌کند و در حالت ایده‌آل هر آنچه را میان آن دو مشترک است نادیده می‌گیرد. فیدبک منفی روشی است که چنین هسته‌ای با بهرهٔ زیاد را در بر می‌گیرد تا بهرهٔ خام و نامطمئن را با دقت، پهنای باند و امپدانس‌های کنترل‌شده در درگاه‌ها معاوضه کند. CMRR نشان می‌دهد طبقهٔ تفاضلی تا چه اندازه سیگنال حالت مشترک را به‌طور کامل حذف می‌کند.

این ایده‌ها هر جا دقت اهمیت داشته باشد به کار می‌روند: طبقه‌های ورودی آپ‌امپ و OTA، تقویت‌کننده‌های ابزار دقیق، تقویت‌کننده‌های ترارزیستانسی (با ورودی جریان) و عملاً هر بلوک آنالوگ حلقه‌بسته.

یک قید، چارچوب همهٔ مطالب زیر را تعیین می‌کند: نظریهٔ فیدبک گزاره‌ای سیگنال‌کوچک و خطی است. این نظریه تنها تا زمانی برقرار است که همهٔ قطعات درون حلقه در ناحیهٔ فعال خود بمانند. یک تقویت‌کنندهٔ واقعی که از چند ترانزیستور ساخته شده، جریان و دامنهٔ نوسان خروجی محدودی دارد و هنگامی که پاسخ ایده‌آلِ حلقه‌بسته بیش از توان طبقهٔ خروجی طلب کند، حلقه باز می‌شود و مدار باید مانند یک شبکهٔ معمولیِ سیگنال‌بزرگ حل شود (بخش ۲، «وقتی حلقه نمی‌تواند بسته شود»).

2. روابط کلیدی

فیدبک منفی (مدل تک‌حلقه). با بهرهٔ مسیر مستقیم $A$ و ضریب فیدبک $\beta$،

ضریب $1+A\beta$ همان مقدار فیدبک است: بهرهٔ حلقه‌بسته و حساسیت آن را بر خود تقسیم می‌کند و امپدانس هر درگاه را مقیاس می‌دهد. وقتی $T\gg 1$، داریم $A_f\to 1/\beta$ — که تنها با شبکهٔ فیدبک تعیین می‌شود.

چهار توپولوژی، با نام‌گذاری ترکیب–نمونه‌برداری:

قاعدهٔ سرانگشتی: ترکیب/نمونه‌برداریِ سری مقاومت آن درگاه را بالا می‌برد و موازی آن را پایین می‌آورد.

واحدهای $A$ و $\beta$. بهرهٔ تثبیت‌شده همیشه بهرهٔ ولتاژ نیست و $\beta$ همواره واحدِ معکوس را دارد تا $T=A\beta$ بی‌بُعد باشد:

فیدبک موازی–موازی (ترارزیستانسی) در سطح ترانزیستور. منبع، جریانی $i_s$ با مقاومت موازی $R_S$ است که گره ورودی $X$ را تغذیه می‌کند؛ خروجی یک ولتاژ است؛ عنصر فیدبک $v_{out}$ را حس می‌کند و جریانی را از گره $X$ بیرون می‌کشد. دو عنصر فیدبک رایج:

• یک مقاومت $R_F$ از خروجی به ورودی: $\beta=-1/R_F$، پس $A_f\to -R_F$ (و $R_F$ در تقویت‌کنندهٔ حلقه‌باز هر دو درگاه را بارگذاری می‌کند)؛
• یک ترانزیستور که پایانهٔ کنترل آن (بیس/گیت) روی خروجی و کلکتور/درین آن روی گره $X$ است: جریان $i_f=g_{m,f}\,v_{out}$ را برمی‌گرداند، پس $\beta=g_{m,f}$ و

در اینجا ترارزیستانس حلقه‌باز $a=R_X\cdot A_v$ است، که در آن $R_X$ مقاومت دیده‌شده در گره $X$ با حذف جریان فیدبک است (مثلاً $R_S\parallel r_e$ یا $R_S\parallel 1/g_m$ وقتی $X$ امیتر/سورسِ یک قطعهٔ بیس‌مشترک/گیت‌مشترک باشد) و $A_v=v_{out}/v_x$ بهرهٔ ولتاژ مسیر مستقیم از $X$ تا خروجی است، در حالی که گره خروجی با قطعهٔ فیدبک بارگذاری شده است (برای قطعهٔ فیدبکِ BJT این بار همان $r_\pi$ آن است؛ برای MOSFET باری وجود ندارد). مقاومت ورودی حلقه‌بسته در $X$ برابر $R_X/(1+T)$ است.

مقادیر سیگنال‌کوچک سودمند: $g_m=I_C/V_T$، $r_e=\alpha/g_m\approx 1/g_m$، $r_\pi=\beta/g_m$ (BJT)؛ $g_m=\sqrt{2k'(W/L)I_D}$ (MOSFET). طبقهٔ بیس‌مشترک/گیت‌مشترک که از امیتر/سورس خود تحریک شود غیرمعکوس‌کننده است، با $v_{out}=g_m R_{load}\,v_x$. اگر بار یک منبع جریان ایده‌آل باشد، تنها مقاومت موجود در گره خروجی همان چیزی است که قطعهٔ بعدی نشان می‌دهد، مثلاً $v_{out}=g_{m1}r_{\pi 2}\,v_x=\beta\,\dfrac{I_{C1}}{I_{C2}}\,v_x$.

حلقه‌های بسته به سبک آپ‌امپ. وقتی یک تقویت‌کنندهٔ چندطبقه با دو مقاومت در حلقه قرار گیرد و $T\gg1$ باشد، دو پایانهٔ ورودی ناگزیر (تقریباً) هم‌ولتاژ می‌شوند — اتصال کوتاه مجازی — و هیچ جریانی وارد آن‌ها نمی‌شود:

برای آنکه بدانید کدام فرمول به کار می‌رود، باید با دنبال‌کردن علامت‌ها در طول طبقه‌ها مشخص کنید کدام ورودی، ورودی معکوس‌کننده است:

مقاومت فیدبک باید به آن ورودی برگردد که علامت کلیِ آن تا خروجی منفی است؛ همان پایانه، ورودی معکوس‌کننده است.

وقتی حلقه نمی‌تواند بسته شود (محدودیت‌های سیگنال‌بزرگ). اتصال کوتاه مجازی نتیجهٔ فعال‌بودن حلقه است، نه یک اصل موضوع. طبقهٔ خروجی کلاس A — یک ترانزیستور که در برابر منبع جریان ثابت $I_Q$ کار می‌کند — نامتقارن است: ترانزیستور تنها در یک جهت می‌تواند جریان بزرگی تحویل دهد، در حالی که در جهت دیگر گره حداکثر به اندازهٔ $I_Q$ می‌تواند حرکت کند. فرض کنید $I_{need}$ جریانی باشد که شبکهٔ فیدبک و بار در جواب ایده‌آل از گره خروجی می‌کشند (یا به آن تزریق می‌کنند). جواب ایده‌آل تنها در صورتی وجود دارد که

اگر شرط نخست برقرار نباشد، ترانزیستور خروجی قطع است، حلقه باز است، اتصال کوتاه مجازی دیگر برقرار نیست و خروجی تنها با منبع جریان تعیین می‌شود. در آرایش معکوس‌کننده با جریانِ ناچیزِ پایانهٔ ورودی، $I_Q$ از $R_1$ و $R_2$ که میان منبع و خروجی سری شده‌اند می‌گذرد:

که علامت بالایی برای حالتی است که منبع جریان از گره خروجی جریان می‌کشد (پایین‌کشِ ضعیف) و علامت پایینی برای حالتی که به آن جریان می‌دهد (بالاکشِ ضعیف).

زوج تفاضلی. هر قطعهٔ تطبیق‌یافته دارای $g_m=\sqrt{2k'(W/L)I_D}$ (MOS) یا $g_m=I_C/V_T$ (BJT) است. ورودی تفاضلی $v_{id}$ جریان $\pm\tfrac12 g_m v_{id}$ را به دو شاخه می‌راند و بهرهٔ تفاضلی برابر است با ترارسانایی ضرب در مقاومت خروجی،

بار فعال (آینهٔ جریان) تبدیل تفاضلی به تک‌سر را انجام می‌دهد و $G_m$ تک‌سر را برابر با $g_m$ کاملِ قطعه می‌کند. چند زوج ورودی که ورودی‌های مشترکی دارند با هم جمع می‌شوند: $G_m=\sum_i g_{m,i}$.

زوج تنها برای $v_{id}$ کوچک خطی است. زوج دوقطبی همین که $\lvert v_{id}\rvert\gtrsim 4V_T\approx 100\ \text{mV}$ شود، عملاً تمام جریان دنباله را به یک ترانزیستور هدایت می‌کند؛ زوج MOS این کار را برای $\lvert v_{id}\rvert\ge\sqrt2\,V_{OV}$ انجام می‌دهد. بنابراین ورودی تفاضلیِ چندصد میلی‌ولتی نشانهٔ حلقه‌ای گسسته است، نه حلقه‌ای که در حال تقویت است.

CMRR. با خروجی تک‌سر، مقاومت دنبالهٔ $R_{SS}$ و بار درین $R_D$،

دنبالهٔ سفت‌تر (منبع جریان ایده‌آل، $R_{SS}\to\infty$) مقدار CMRR را بالا می‌برد؛ عدم تطبیقِ قطعات و بارها حتی با دنباله‌ای بی‌نقص، سقف محدود آن را تعیین می‌کند.

3. روش حل

مسئلهٔ فیدبک (سیگنال‌کوچک):

1. نخست بایاس. همهٔ خازن‌ها را باز کنید و در هر گره KCL بنویسید. خازن کوپلاژی که یک گره را از منبع جدا می‌کند، قطعاتِ روی‌هم‌چیده در آن گره را وادار می‌کند همان جریان DC را حمل کنند؛ بارِ منبع جریان ایده‌آل، مجموع جریان‌های خروجی از گره خود را ثابت می‌کند. از جریان‌ها $g_m$، $r_e$ و $r_\pi$ را به دست آورید.
2. توپولوژی را دسته‌بندی کنید: سیمی که دو سر خروجی را در بر می‌گیرد از ولتاژ نمونه می‌گیرد (خروجی موازی)؛ عنصری که با بار سری است از جریان نمونه می‌گیرد (خروجی سری). فیدبکی که به‌صورت سری با ورودی برگردانده شود یک ولتاژ را کم می‌کند؛ فیدبکی که به گره ورودی برگردد یک جریان را کم می‌کند.
3. $\beta$ را استخراج کنید = (کمیت برگشتی)/(خروجی نمونه‌برداری‌شده)، با غیرفعال‌کردن مسیر مستقیم. واحد آن را با جدول بسنجید.
4. $A$ حلقه‌باز را با شبکهٔ فیدبک در هر دو درگاه بارگذاری کنید، سپس $T=A\beta$ را تشکیل دهید.
5. حلقه را ببندید: $A_f=A/(1+T)$؛ $R_{in},R_{out}$ را مطابق جدول با $(1+T)$ مقیاس دهید.
6. برای سطوح سیگنال، حلقه را بپیمایید: خطا (ورودی خالص به $A$) برابر $v_\varepsilon=v_{in}/(1+T)$ است.

روش جایگزینِ گرهیِ مستقیم (برای حلقهٔ دوترانزیستوری اغلب سریع‌تر): در گره خروجی KCL بنویسید تا $v_{out}$ بر حسب ولتاژ گره ورودی $v_x$ به دست آید، سپس در گره ورودی با درنظرگرفتن جریان فیدبک KCL بنویسید و تقسیم کنید. این روش پاسخ دقیق را می‌دهد، بی‌آنکه لازم باشد $A$ و $\beta$ جداگانه شناسایی شوند — از دیدگاه فیدبک به‌عنوان آزمون درستی $A_f\approx1/\beta$ استفاده کنید.

حلقهٔ بسته پیرامون یک تقویت‌کنندهٔ گسسته (سیگنال‌بزرگ):

1. با دنبال‌کردن علامت‌ها (جدول بالا) ورودی معکوس‌کننده را بیابید و منفی‌بودن فیدبک را تأیید کنید.
2. فرض کنید حلقه فعال است: اتصال کوتاه مجازی، $V_O$ ایده‌آل از $-R_2/R_1$ یا $1+R_2/R_1$.
3. گره خروجی را با KCL بیازمایید: جریانی را که شبکهٔ فیدبک و بار در آن $V_O$ طلب می‌کنند محاسبه کنید. آیا قطعهٔ خروجی می‌تواند آن را در تنها جهت ممکنِ خود تأمین کند (پایین‌کشِ npn/NMOS فقط جریان می‌کشد، بالاکشِ pnp/PMOS فقط جریان می‌دهد)؟ آیا $V_O$ درون حدود نوسان است؟
4. اگر نه، جریان ترانزیستور خروجی را صفر بگذارید، اجازه دهید منبع جریان $I_Q$ از مقاومت‌های بیرونی بگذرد و شبکهٔ مقاومتیِ حاصل را برای $V_O$ حل کنید.
5. سازگاری را بررسی کنید: اختلاف ولتاژ پایانه‌های ورودی اکنون باید بزرگ باشد و قطبیتی داشته باشد که قطعهٔ خروجی را بیشتر به سمت خاموشی براند (جریان دنباله به‌طور کامل به یک سو هدایت شده، ترانزیستور آینه اشباع شده).

مسئلهٔ زوج تفاضلی / CMRR:

1. بایاس $\to$ هر $g_m$.
2. نیم‌مدار تفاضلی: $A_d=G_m R_{out}$ (بار آینه‌ای $\Rightarrow$ $g_m$ کامل؛ زوج‌های موازی را جمع کنید).
3. نیم‌مدار حالت مشترک با $2R_{SS}$ در سورس $\to A_{cm}$.
4. $\text{CMRR}=|A_d/A_{cm}|$.

4. مثال‌های کوتاه حل‌شده

(الف) تقویت‌کنندهٔ ولتاژ و CMRR. یک تقویت‌کنندهٔ سری–موازی (ولتاژ) بهرهٔ حلقه‌بازِ بارگذاری‌شدهٔ $A=1000$ و یک مقسم مقاومتیِ فیدبک با $\beta=0.05$ دارد.

تغییر $10\%$ در $A$ در خروجی به $10\%/51\approx0.2\%$ کاهش می‌یابد و $R_{out}=2\ \text{k}\Omega$ حلقه‌باز به $2\,\text{k}\Omega/51\approx39\ \Omega$ تبدیل می‌شود. اگر طبقهٔ ورودی آن تقویت‌کننده زوجی با $g_m=1\ \text{mA/V}$ باشد که از دنباله‌ای با منبع جریانِ $R_{SS}=1\ \text{M}\Omega$ تغذیه می‌شود، آنگاه

(ب) تقویت‌کنندهٔ ترارزیستانسی با ترانزیستور به‌عنوان عنصر فیدبک. جریان سیگنال $i_s$ با $R_S=500\ \Omega$ سورس (گره $X$) یک $M_1$ گیت‌مشترک با $g_{m1}=2\ \text{mS}$ و بار درین $R_D=20\ \text{k}\Omega$ را تحریک می‌کند؛ درین همان خروجی است. $M_2$ ($g_{m2}=1\ \text{mS}$) گیتش روی خروجی، درینش روی گره $X$ و سورسش زمین‌شده است؛ $\lambda=0$.

دیدگاه فیدبک: $R_X=R_S\parallel\dfrac{1}{g_{m1}}=500\parallel500=250\ \Omega$، $A_v=g_{m1}R_D=40$، پس $a=250\times40=10\ \text{k}\Omega$. با $\beta=g_{m2}=1\ \text{mS}$، $T=10$ و

بررسی گرهی: $v_{out}=40\,v_x$ و

علامت برای فیدبک منفی درست است: $v_x\uparrow\Rightarrow v_{out}\uparrow\Rightarrow M_2$ جریان بیشتری از $X\Rightarrow v_x\downarrow$ بیرون می‌کشد.

(ج) حلقهٔ بسته‌ای که نمی‌تواند بسته شود. یک تقویت‌کنندهٔ گسسته (تغذیه‌های $\pm12\ \text{V}$، ورودی غیرمعکوس‌کننده زمین‌شده) به‌صورت تقویت‌کنندهٔ معکوس‌کننده با $R_1=2\ \text{k}\Omega$ و $R_2=8\ \text{k}\Omega$ بسته شده است. طبقهٔ خروجی آن یک ترانزیستور npn امیتر‌مشترک است (کلکتور در خروجی، امیتر در $-12\ \text{V}$) که یک منبع جریان $0.4\ \text{mA}$ از $+12\ \text{V}$ بار کلکتور آن است. $V_O$ را برای $V_i=-1.5\ \text{V}$ بیابید.

تلاش ایده‌آل: $V_O=-\dfrac{8}{2}(-1.5)=+6\ \text{V}$. در این صورت $R_1$ جریان $\dfrac{0-(-1.5)}{2\ \text{k}\Omega}=0.75\ \text{mA}$ را به سمت منبع حمل می‌کند که باید از خروجی و از طریق $R_2$ برسد. KCL در خروجی: $0.4\ \text{mA}=I_C+0.75\ \text{mA}\Rightarrow I_C=-0.35\ \text{mA}$ — ناممکن است، چون npn نمی‌تواند جریان بدهد. پس ترانزیستور خاموش است و $0.4\ \text{mA}$ از $R_2+R_1$ به درون منبع می‌رود:

سازگاری: ورودی معکوس‌کننده $0.7\ \text{V}$ پایین‌تر از ورودیِ زمین‌شده قرار دارد، پس تقویت‌کننده خروجی را تا جایی که می‌تواند بالا می‌برد — یعنی ترانزیستور پایین‌کش، همان‌گونه که فرض شد، کاملاً خاموش شده است. مقدار ایده‌آل $+6\ \text{V}$ تنها برای $\lvert V_i\rvert/R_1\le0.4\ \text{mA}$، یعنی $V_i\ge-0.8\ \text{V}$، دست‌یافتنی بود.

5. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

• خروجی تمام‌تفاضلی: در حالت ایده‌آل $A_{cm}\to 0$، پس CMRR را $g_m R_{SS}$ و عدم تطبیق بار $\Delta R_D/R_D$ محدود می‌کنند، نه دنباله به‌تنهایی.
• ایده‌آل‌سازی $\lambda=0$ / $V_A=\infty$: $r_o\to\infty$، پس بهرهٔ ذاتی $g_m r_o$ بی‌نهایت است — از آن استفاده نکنید. تنها بار محدود، $R_L$ بیرونی (یا $r_\pi$ قطعهٔ دوقطبیِ بعدی) است که $A_d=G_m R_L$ را می‌دهد.
• $T\gg 1$: $A_f\to 1/\beta$، عملاً مستقل از $A$ — اساس مدارهای دقیق آپ‌امپی. در حلقهٔ موازی–موازی، مقاومت منبع $R_S$ در این حالت تنها $T$ را تغییر می‌دهد و تقریباً اثری بر ترارزیستانس ندارد.
• فیدبک مقاومتی در برابر ترانزیستوری در حلقهٔ موازی–موازی: $R_F$ نتیجه می‌دهد $A_f\to-R_F$ (تقویت‌کنندهٔ مسیر مستقیم باید معکوس‌کننده باشد)؛ ترانزیستور فیدبک نتیجه می‌دهد $A_f\to 1/g_{m,f}$ که به جریان بایاس آن بستگی دارد ($V_T/I_C$ برای BJT) — پس حل DC بخشی از پاسخ است.
• علامت / فاز: فیدبک منفی یعنی سیگنال برگشتی در گره جمع‌کننده با ورودی هم‌فاز است تا کم شود؛ سیگنال برگشتیِ ناهم‌فاز حلقه را مثبت می‌کند. در حلقه‌ای با ترکیب موازی، آزمون معادل این است که عنصر فیدبک با بالارفتن ولتاژ گره ورودی، از آن گره جریان بردارد.
• پهنای باند: برای $A$ تک‌قطبی، فیدبک پهنای باند $-3\,\text{dB}$ را $(1+T)$ برابر می‌کند و هم‌زمان بهره را به همان نسبت کاهش می‌دهد (حاصل‌ضرب بهره–پهنای باندِ ثابت).
• گونه‌های محدودیت خروجی: خروجی امیتر‌مشترکِ pnp/PMOS با منبع جریانِ پایین‌کش هنگامی ضعیف است که خروجی باید جریان بکشد؛ خروجی npn/NMOS با منبع جریانِ بالاکش هنگامی ضعیف است که باید جریان بدهد. طبقهٔ پوش‌پول (کلاس B/AB) چنین عدم تقارنی ندارد و تنها ریل‌های تغذیه آن را محدود می‌کنند. مقاومت بار در خروجی، $V_O/R_L$ را به جریانی که طبقه باید فراهم کند می‌افزاید.
• اشباع در ریل در برابر کمبود جریان: وقتی ترانزیستور خروجی در عوض کاملاً روشن شود، $V_O$ نزدیک ریل خود بریده می‌شود (به فاصلهٔ $V_{CE,sat}$ از آن)؛ وقتی خاموش شود، $V_O$ به ریل مقابل نمی‌رود — بلکه همان مقداری است که $I_Q$ روی مقاومت‌های بیرونی ایجاد می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: سه واکنش سریع، بیشتر این مسائل را حل می‌کند. (۱) در ترکیب سری (ولتاژ) حلقه از $v_{in}=v_\varepsilon+v_f$ با $v_\varepsilon=v_{in}/(1+A\beta)$ پیروی می‌کند — هر گزینه‌ای با $v_f>v_{in}$ یا با $v_f$ ناهم‌فاز، KVL یا فیدبک منفی را نقض می‌کند و در نگاه اول ردشدنی است. (۲) برای زوج با بار آینه‌ای، $G_m$ تک‌سر برابر $g_m$ کامل است (نه $g_m/2$) و زوج‌های موازی با ورودی‌های مشترک، $g_m$ خود را جمع می‌کنند؛ با $\lambda=0$ بهره صرفاً $G_m R_L$ است و هرگز $g_m r_o$ نیست. (۳) با بهرهٔ حلقهٔ بزرگ، بهرهٔ حلقه‌بسته همان $1/\beta$ در واحد درست است — برای ترانزیستوری که جریان را به گره ورودی برمی‌گرداند این مقدار $1/g_{m,f}$ است که مستقیماً از جریان بایاس آن خوانده می‌شود.

تلهٔ رایج: پیش از بررسی KCL در گره خروجیِ یک تقویت‌کنندهٔ گسسته، هرگز به $-R_2/R_1$ یا اتصال کوتاه مجازی اعتماد نکنید. اگر جریان لازم از آنچه یک طبقهٔ خروجیِ یک‌سویه (کلاس A) می‌تواند تحویل دهد بیشتر باشد، ترانزیستور خروجی قطع می‌شود و $V_O=V_i\mp I_Q(R_1+R_2)$ — نه مقدار ایده‌آل و نه ریل تغذیه. به همین ترتیب، مقاومت دیده‌شده در گره ورودی بدون فیدبک ($R_S\parallel r_e$) همان ترارزیستانس نیست.