مشتق‌های جزئی، قاعدهٔ زنجیره‌ای و مشتق‌گیری ضمنی

هر بار که یک متغیر ظاهر می‌شود جملهٔ زنجیره‌ای خودش را می‌سازد — $u_x=f_x+f_z z_x$ با $z_x=-F_x/F_z$ از قضیهٔ تابع ضمنی — در حالی که یک راستا در مرتبهٔ اول با $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u$ و در مرتبهٔ دوم با $D^{2}_{\mathbf u}f=\mathbf u^{\mathsf T}H_f\mathbf u$ خوانده می‌شود، و مشتق‌های جزئی مختلط تنها در جایی که پیوسته‌اند جابه‌جاپذیرند.