ریاضی عمومی ۱ و ۲Calculus
ریاضی عمومی: حد، پیوستگی، مشتق، انتگرال، دنباله‌ها و سری‌ها، و حسابان چندمتغیره.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 11
روی یک بازهٔ بسته، پیوستگی به‌همراه مشتق‌پذیری در نقاط درونی ناچار می‌کند مشتق در جایی به شیب متوسط برسد؛ از همین یک واقعیت، آزمون‌های یکنوایی، قضیهٔ حد مشتق، خاصیت مقدار میانی داربو، و ماشین «رل + قضیهٔ مقدار میانی» که تعداد ریشه‌های حقیقی یک معادله را دقیقاً می‌شمارد بیرون می‌آید.
هرگاه ۱-فرم دقیق باشد انتگرال کار به تفاضل مقادیر در دو سر مسیر فرو می‌کاهد، شارِ تاو به کمک قضیهٔ استوکس به گردش روی مرز تبدیل می‌شود، و شار معمولی یا با قضیهٔ دیورژانس (برای سطوح بسته یا سطوحی که به‌آسانی درپوش می‌گیرند) یا با پارامتری‌کردن یک ورقهٔ سطح به‌صورت نمودار روی تصویرش بر یک صفحهٔ مختصات محاسبه می‌شود — تشخیص اینکه در کدام حالت هستید، تمام کار است.
برای یک خم فضایی منظم، خمیدگی κ≥ 0 میزان خم‌شدن درون‌صفحه‌ای و پیچش τ میزان تاب‌خوردن برون‌صفحه‌ای را می‌سنجد؛ یک مارپیچ دایره‌ای هر دو را ثابت دارد، پس τ/κ ثابت است (قضیهٔ لانکره).
انتگرال ناسره حدِ انتگرال‌های سره است و باید در هر نقطهٔ دردسرساز به‌طور جداگانه همگرا شود: تکینگی‌ها را بیابید، مرتبهٔ مجانبی را بخوانید و محک p را همراه با مقایسه (حدی) به کار ببرید، همگرایی واقعی را از صرفِ مقدار اصلی کوشی تمیز دهید، هر جابه‌جایی سری/حد با انتگرال را توجیه کنید، سپس با الگوی گاما/مختلط‌سازی، انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء ناسره با کسرهای جزئی ادغام‌شده در یک لگاریتم واحد، اتحاد تابع وارون، یا بهینه‌سازی بر پایهٔ علامت انتگرال‌ده محاسبه کنید — و هرگاه مقداری خواسته نشده باشد، فرضِ نقطه‌ای (معمولاً یک کران دوطرفه روی انتگرال‌ده) را با اثبات نقطه‌ای و سپس انتگرال‌گیری به یک نامساوی انتگرالی تبدیل کنید.
سری، حدِ مجموع‌های جزئیِ آن است: رفتار مجانبیِ غالبِ جملهٔ عمومی، یعنی c n^(-p) ، را بخوانید تا آزمون مقایسه/نسبت/ریشه/انتگرال را برگزینید، سری را بی‌درنگ واگرا اعلام کنید هرگاه جملهٔ n ام آن نتواند به 0 میل کند، همگرایی را زیر هر بازوزن‌دهیِ کران‌دار حفظ کنید، و هرگاه صورتِ سؤال مقدار دقیق را بخواهد، تلسکوپی (مجموع یا حاصل‌ضرب) کنید یا سری هندسی را جمع بزنید.
دامنه را با جدول علامت تثبیت کن، نوع صورت مبهم را نام‌گذاری کن، سپس آن را با تطبیق مرتبهٔ صفرشدن (تیلور/مجانبی) یا با هوپیتال ـ پس از وارسی فرض‌هایش ـ از بین ببر؛ همین حسابداریِ مرتبه‌ها، توانِ مجهول را نیز به دست می‌دهد و درجهٔ پیوستگی/هموارییِ تابعِ ترمیم‌شده را می‌خواند.
هر انتگرال دوگانه/سه‌گانه دقیقاً با یکی از چهار حرکت حل می‌شود — تکراری‌کردن آن (فوبینی)، تغییر دستگاه مختصات (تغییر متغیر با lvert Jrvert )، روی‌هم‌چیدن به شکل ∬_D(top-bottom) dA ، یا برش‌زدن آن در امتداد مجموعه‌های تراز تابع زیر انتگرال — و کار کنکور این است که پنهان کند کدام حرکت کم‌هزینه است، معمولاً پشت مثلثی که باید رسمش کنی یا دایره‌ای قطبی که بازهٔ θ آن [0,2π] نیست.
هر بار که یک متغیر ظاهر می‌شود جملهٔ زنجیره‌ای خودش را می‌سازد — u_x=f_x+f_z z_x با z_x=-F_x/F_z از قضیهٔ تابع ضمنی — در حالی که یک راستا در مرتبهٔ اول با D_(mathbf u)f=∇ f·mathbf u و در مرتبهٔ دوم با D^2_(mathbf u)f=mathbf u^(mathsf T)H_fmathbf u خوانده می‌شود، و مشتق‌های جزئی مختلط تنها در جایی که پیوسته‌اند جابه‌جاپذیرند.
هر مساحت مسطح همان ∬_D dA است که به یکی از سه روش ساده می‌شود — برش عمودی/افقی، انتگرال مرزی گرین tfrac12∮(x dy-y dx) ، یا جاروب قطبی tfrac12∫ r^2 dθ — و تمام دشواری یک سؤال کنکوری در تعیین بازهٔ پارامتری است که در آن مرز دقیقاً یک بار پیموده می‌شود.
همه چیز در دوران به فاصله تا محور ρ برمی‌گردد: یک خم رویه‌ای به مساحت 2π∫ρ ds می‌روبد و یک ناحیه با واشرها در امتداد محور یا با پوسته‌ها در عرض آن حجم می‌سازد — با بازهٔ پارامتری‌ای که جسم را دقیقاً یک بار بپیماید.
انتگرال سطحیِ نوشته‌شده به شکل P dy dz+Q dz dx+R dx dy همان شار ∬_SFcdotn dS است و دقیقاً با یکی از سه راهکار محاسبه می‌شود — قضیهٔ گاوس روی سطح بسته، تصویر علامت‌دار روی یک صفحهٔ مختصات برای تکه‌سطح باز، یا میان‌بُر کره n=r/a — و همیشه ابتدا باید divF تعیین شود، زیرا میدانی با دیورژانس صفر از یک سطح بسته بدون هیچ محاسبه‌ای شار 0 می‌دهد.