سوال ۱۱۳ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

صورت مسئله. بار آزاد یک بار خطی $\rho_L$ روی محور است و همه‌چیز تقارن استوانه‌ای دارد، بنابراین چگالی شار الکتریکی کاملاً شعاعی است و از قانون گاوس برای $\mathbf{D}$ به دست می‌آید (مستقل از دی‌الکتریک):

$D(r) = \frac{\rho_L}{2\pi r}\,\hat{r}.$

قطبش (پلاریزاسیون). در یک دی‌الکتریک خطی داریم $\mathbf{P} = \mathbf{D} - \varepsilon_0\mathbf{E}$ و $\mathbf{E} = \mathbf{D}/\varepsilon$، بنابراین

$\mathbf{P} = \mathbf{D}\left(1 - \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right).$

بار سطحی مقید در فصل مشترک. برای مرز دی‌الکتریک–دی‌الکتریک، چگالی بار سطحی مقید برابر با پرش مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{P}$ است:

$\sigma_b = \left(\mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_2\right)\cdot\hat{n},\qquad \hat{n}=\hat{r}\ \text{(from region 1 to 2)}.$

ارزیابی گذردهی در دو طرف $r = 1$.

• ناحیهٔ داخلی ($0.5 < r < 1$): $\varepsilon = 2\varepsilon_0$، بنابراین در $r=1^-$: $\varepsilon_1 = 2\varepsilon_0$.
• ناحیهٔ خارجی ($1 < r < 2$): $\varepsilon = \varepsilon_0\dfrac{2}{r}$، بنابراین در $r=1^+$: $\varepsilon_2 = \varepsilon_0\cdot\dfrac{2}{1} = 2\varepsilon_0$.

گذردهی در $r=1$ پیوسته است (هر دو طرف برابر $2\varepsilon_0$ هستند).

قطبش در هر طرف در $r=1$، که در آن $D = \dfrac{\rho_L}{2\pi(1)} = \dfrac{\rho_L}{2\pi}$:

$P_1 = P_2 = \frac{\rho_L}{2\pi}\left(1 - \frac{\varepsilon_0}{2\varepsilon_0}\right) = \frac{\rho_L}{2\pi}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\rho_L}{4\pi}.$

بار سطحی مقید.

$\sigma_b = P_1 - P_2 = \frac{\rho_L}{4\pi} - \frac{\rho_L}{4\pi} = 0.$

چون $D$ پیوسته است و $\varepsilon$ در $r=1$ پیوسته است، قطبش عمودی در دو طرف با هم برابر است و هیچ بار سطحی مقیدی انباشته نمی‌شود. پاسخ صفر (گزینهٔ ۱) است.

تلهٔ رایج: قطبش $P$ را از فرمول کلی حساب نکنید و در $\frac{\rho_L}{4\pi}$ (گزینهٔ ۳) متوقف نشوید — این مقدار $P$ در هر طرف است، نه پرش آن. بار سطحی مقید همان ناپیوستگی در مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{P}$ است؛ و چون $\varepsilon$ به‌گونه‌ای طراحی شده که در $r=1$ پیوسته باشد (پروفایل $2/r$ دقیقاً در آنجا مقدار $2\varepsilon_0$ می‌دهد)، پرش — و در نتیجه $\sigma_b$ — صفر می‌شود.