الکتروستاتیک و رسانش پایا: قانون گاوس، پتانسیل، دی‌الکتریک‌ها، ظرفیت و مقاومت

جعبه‌ابزار کامل بارهای ساکن و جریان‌های پایا در ماده: قانون گاوس برای E و D، پتانسیل و رابطهٔ E = -grad V، دی‌الکتریک‌ها همراه با بار مقید و شرایط مرزی، گذردهی تکه‌ای و تدریجی (سری در برابر موازی)، روش تصاویر، ظرفیت، و مقاومت رساناهای یکنواخت و غیریکنواخت به‌همراه دوگانی RC.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی

الکتروستاتیک میدان‌های حاصل از بارهای ساکن را توصیف می‌کند (بدون تغییرات زمانی و بدون جریان پایا در ناحیهٔ میدان). همه‌چیز از دو معادلهٔ میدان به‌علاوهٔ یک رابطهٔ ساختاری نتیجه می‌شود:

\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \nabla\times\mathbf{E}=0.

شرط صفر بودن کرل همان چیزی است که اجازه می‌دهد $\mathbf{E}$ را به‌صورت گرادیان یک پتانسیل اسکالر بنویسیم، و شرط دیورژانس همان قانون گاوس است. در ماده بهتر است بار آزاد (باری که در اختیار ماست) را از بار مقید (پاسخ ماده) جدا کنیم؛ این کار جابه‌جایی الکتریکی $\mathbf{D}$ و قطبش $\mathbf{P}$ را وارد می‌کند. تقریباً هر سؤال کنکوری الکتروستاتیک یکی از این پنج حرکت است: (i) استفاده از تقارن + گاوس برای یافتن میدان، (ii) انتگرال‌گیری از $\mathbf{E}$ برای رسیدن به پتانسیل یا خواندن $\mathbf{E}=-\nabla V$ از روی نمودار پتانسیل، (iii) برخورد با دی‌الکتریک از طریق $\mathbf{D}$ / $\mathbf{P}$ /بار مقید، (iv) جایگزینی رسانای زمین‌شده با یک تصویر، یا (v) تبدیل یک الگوی میدان به ظرفیت (و به کمک دوگانی، به مقاومت). سه حرکت دیگر همین جعبه‌ابزار را گسترش می‌دهند: (vi) دی‌الکتریکی که یکنواخت نیست — ناحیه‌های تکه‌ای یا $\varepsilon(\mathbf{r})$ تدریجی — که در آن ابتدا باید تعیین کنید مرزها در امتداد میدان قرار دارند یا عمود بر آن؛ (vii) کل بار مقید محصور در یک سطح، که به‌صورت شار $\mathbf{P}$ خوانده می‌شود؛ و (viii) رسانش پایا، که از همان ریاضیات پیروی می‌کند و در آن $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$ نقش $\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$ را بازی می‌کند، به‌طوری که مقاومت دقیقاً مانند وارون ظرفیت محاسبه می‌شود.

۲. فرمول‌ها و قضیه‌های کلیدی

قانون گاوس — دو صورت

برای بار کل (آزاد + مقید)، برحسب $\mathbf{E}$ :

\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q_{\text{enc}}^{\text{tot}}}{\varepsilon_0}.

فقط برای بار آزاد، برحسب جابه‌جایی $\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$ :

\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}^{\text{free}},\qquad \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}.

صورت دوم ابزار اصلی کار در دی‌الکتریک‌هاست: $\mathbf{D}$ را بار آزاد و هندسه تعیین می‌کنند، مستقل از جنس ماده.

سه میدان متقارن مرجع

منبع	میدان (اندازه)	نحوهٔ افت
بار نقطه‌ای $Q$	$E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$	$1/r^{2}$
خط بار نامتناهی $\rho_L$	$E=\dfrac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0 r}$	$1/r$
صفحهٔ بار نامتناهی $\rho_s$	$E=\dfrac{\rho_s}{2\varepsilon_0}$	ثابت

میدان صفحه یکنواخت است و در هر دو طرفِ یک صفحهٔ مثبت از آن دور می‌شود؛ با عبور از صفحه علامت میدان عوض می‌شود و همین، پرش $\rho_s/\varepsilon_0$ را می‌دهد.

پتانسیل و رابطهٔ میدان–پتانسیل

\mathbf{E}=-\nabla V,\qquad V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l},\qquad \nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\ (\text{Poisson}).

در یک بُعد این رابطه به $E_x=-\,dV/dx$ ساده می‌شود: اندازهٔ میدان شیب پتانسیل است، نه ارتفاع آن. هر جا $V(x)$ تندترین شیب را دارد، $|E|$ بیشترین است؛ هر جا $V$ تخت است، $E\approx 0$ .

دی‌الکتریک‌های خطی، قطبش و بار مقید

برای یک محیط خطی و همسانگرد

\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf{E},\qquad \mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\mathbf{E}=\mathbf{D}\left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right).

قطبش منبع بار مقید است:

\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}\ (\text{volume}),\qquad \sigma_b=\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}=(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_2)\cdot\hat{\mathbf{n}}_{1\to2}\ (\text{interface}).

در یک مرز، بار مقید سطحی برابر پرش مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{P}$ است، نه مقدار $\mathbf{P}$ در یک طرف.

بار مقید محصور در یک سطح

با انتگرال‌گیری از $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}$ روی یک حجم و به‌کارگیری قضیهٔ دیورژانس، برای هر سطح بستهٔ $S$ که درون دی‌الکتریک قرار دارد به‌دست می‌آید

Q_b^{\text{enc}}=\int_V\rho_b\,dV=-\oint_S\mathbf{P}\cdot d\mathbf{S}.

این همان قانون گاوس برای قطبش است: بار مقید محصور برابر منفیِ شار برون‌سوی $\mathbf{P}$ است، پس وقتی $\mathbf{P}$ روی $S$ معلوم باشد به هیچ انتگرال حجمی نیاز نیست. اگر $S$ درست بیرون کل جسم رسم شود، روی آن $\mathbf{P}=0$ است و شار صفر می‌شود: بارهای مقید حجمی و سطحی هر جسم دی‌الکتریک همواره یکدیگر را خنثی می‌کنند، $\int_V\rho_b\,dV+\oint\sigma_b\,dS=0$ .

وقتی خودِ چگالی حجمی خواسته شده باشد، دیورژانس را در دستگاه مختصات متناسب به‌کار ببرید؛ برای یک میدان کاملاً شعاعی،

\nabla\cdot\mathbf{P}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\left(r^{2}P_r\right)\ \ (\text{spherical}),\qquad \nabla\cdot\mathbf{P}=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\left(\rho P_\rho\right)\ \ (\text{cylindrical}).

توجه کنید که $\mathbf{P}$ شعاعی با اندازهٔ ثابت بدون دیورژانس نیست: $P_r=P_0$ در کره $\rho_b=-2P_0/r$ و $P_\rho=P_0$ در استوانه $\rho_b=-P_0/\rho$ را می‌دهد.

شرایط مرزی در یک فصل مشترک

D_{2n}-D_{1n}=\rho_{s,\text{free}},\qquad E_{1t}=E_{2t}.

مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ هر جا که بار سطحی آزاد وجود نداشته باشد پیوسته است؛ مؤلفهٔ مماسی $\mathbf{E}$ همیشه پیوسته است. در نتیجه مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{E}$ در عبور از مرز دی‌الکتریک به نسبت گذردهی‌ها پرش می‌کند.

دی‌الکتریک‌های غیریکنواخت: مرزهای در امتداد میدان در برابر مرزهای عمود بر میدان

با وجود چند دی‌الکتریک، فرمول‌های میدان متقارنِ جدول بالا دیگر مستقیماً قابل استفاده نیستند. شرایط مرزی تعیین می‌کنند کدام کمیت صورت سادهٔ خود را حفظ می‌کند.

هندسهٔ مرزها	آنچه در همهٔ ناحیه‌ها مشترک است	آنچه متفاوت است	تصویر مداری
موازی با میدان (میدان بر همهٔ مرزها مماس است)	$\mathbf{E}$ (مؤلفهٔ مماسی $\mathbf{E}$ پیوسته است)	$\mathbf{D}=\varepsilon_i\mathbf{E}$	خازن‌های موازی
عمود بر میدان (میدان بر همهٔ مرزها عمود است)	$\mathbf{D}$ (مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ پیوسته است، بدون بار آزاد روی مرز)	$\mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon_i$	خازن‌های سری

مرزهای موازی با میدان. فرض کنید مرزهای دی‌الکتریک نیم‌صفحه‌هایی شامل یک خط بار (گُوِه‌ها)، یا مخروط‌ها/صفحه‌هایی گذرنده از یک بار نقطه‌ای (قطاع‌ها) باشند. یک میدان کاملاً شعاعی بر همهٔ آن‌ها مماس است، پس همان $E$ همهٔ شرایط مرزی را برآورده می‌کند؛ آنگاه قانون گاوس برای $\mathbf{D}$ ، مقدار $\varepsilon_iE$ را روی تکه‌های سطح گاوسی جمع می‌کند:

E(\rho)=\frac{\rho_L}{\rho\,\sum_i\varepsilon_i\,\Delta\varphi_i}\quad(\text{line charge, wedges of angle }\Delta\varphi_i),\qquad E(r)=\frac{Q}{r^{2}\,\sum_i\varepsilon_i\,\Delta\Omega_i}\quad(\text{point charge, sectors of solid angle }\Delta\Omega_i).

به‌طور معادل، فرمول معمولی را با گذردهی میانگینِ وزن‌دار زاویه‌ای $\varepsilon_{\text{eff}}=\dfrac{\sum_i\varepsilon_i\Delta\varphi_i}{2\pi}$ (یا $\dfrac{\sum_i\varepsilon_i\Delta\Omega_i}{4\pi}$ ) به‌کار ببرید. میدان در همهٔ ناحیه‌ها یکسان است؛ این $\mathbf{D}$ ، و در نتیجه چگالی بار آزاد روی هر الکترود، است که در ناحیهٔ با $\varepsilon$ بزرگ‌تر بیشتر است.

مرزهای عمود بر میدان (لایه‌ها). در فاصلهٔ یک خازن صفحه‌موازی که با لایه‌هایی به ضخامت $t_i$ و گذردهی $\varepsilon_i$ پر شده است، همان $D$ از همهٔ لایه‌ها می‌گذرد، $E_i=D/\varepsilon_i$ ، و

V=\sum_iE_it_i=D\sum_i\frac{t_i}{\varepsilon_i}\quad\Rightarrow\quad D=\frac{V}{\sum_i t_i/\varepsilon_i},\qquad \frac{C}{A}=\frac{1}{\sum_i t_i/\varepsilon_i}.

بنابراین لایه‌ای به ضخامت $t$ و گذردهی نسبی $\varepsilon_r$ معادل یک فاصلهٔ هوایی هم‌ارز $t/\varepsilon_r$ به‌حساب می‌آید: $d_{\text{eff}}=\sum_i t_i/\varepsilon_{r,i}$ و $D=\varepsilon_0V/d_{\text{eff}}$ .

بار آزاد روی الکترودها. روی سطح رسانا، بار سطحی آزاد برابر مؤلفهٔ عمودی جابه‌جایی درست بیرون آن است،

\rho_s=D_n=\varepsilon E_n ,

که در آن $\varepsilon$ گذردهی محیطی است که با صفحه در تماس است. پس هر چیزی که $D$ را تغییر دهد، بار صفحه را نیز با همان ضریب تغییر می‌دهد.

کدام کمیت ثابت نگه داشته می‌شود. وارد کردن دی‌الکتریک در دو وضعیت استاندارد پیامدهای متضادی دارد:

	باتری متصل ( $V$ ثابت)	صفحه‌ها منزوی ( $Q$ ثابت)
$D$ و چگالی بار صفحه	افزایش می‌یابد، $\propto C$	بدون تغییر
ولتاژ	بدون تغییر	کاهش می‌یابد، $\propto 1/C$
انرژی ذخیره‌شده	$W=\tfrac12CV^{2}$ افزایش می‌یابد	$W=\dfrac{Q^{2}}{2C}$ کاهش می‌یابد

اگر فقط بخشی از سطح صفحه تغییر کند و از اثر لبه‌ها چشم‌پوشی شود، بخش‌های تغییریافته و تغییرنیافته خازن‌های موازیِ مستقلی هستند که $V$ یکسانی دارند: چگالی بار فقط روی بخش تغییریافته عوض می‌شود.

گذردهی با تغییر پیوسته (تدریجی). وقتی $\varepsilon=\varepsilon(\mathbf{r})$ باشد و بار آزادی وجود نداشته باشد، $\nabla\cdot\mathbf{D}=0$ به صورت زیر درمی‌آید

\nabla\cdot\left(\varepsilon\nabla V\right)=0 ,

که معادلهٔ لاپلاس $\nabla^{2}V=0$ نیست مگر آنکه $\varepsilon$ ثابت باشد. در هندسه‌های یک‌بعدی، این معادله با یک بار انتگرال‌گیری به این گزاره می‌رسد که شار $\mathbf{D}$ پایسته است:

\varepsilon(x)\frac{dV}{dx}=c\ \ (\text{planar}),\qquad \varepsilon(\rho)\,\rho\,\frac{dV}{d\rho}=c\ \ (\text{cylindrical}),\qquad \varepsilon(r)\,r^{2}\frac{dV}{dr}=c\ \ (\text{spherical}).

برای یک فاصلهٔ تخت با $V(0)=0$ و $V(d)=V_0$ این رابطه مستقیماً می‌دهد

V(x)=V_0\,\frac{\displaystyle\int_0^{x}\frac{dx'}{\varepsilon(x')}}{\displaystyle\int_0^{d}\frac{dx'}{\varepsilon(x')}},\qquad \lvert D\rvert=\frac{V_0}{\displaystyle\int_0^{d}\frac{dx'}{\varepsilon(x')}},\qquad \frac{C}{A}=\frac{1}{\displaystyle\int_0^{d}\frac{dx'}{\varepsilon(x')}} ,

که حد پیوستهٔ فرمول لایه‌های سری است: پتانسیل در جایی که $\varepsilon$ کوچک‌ترین است سریع‌تر از همه بالا می‌رود. یک دی‌الکتریک تدریجی بار حجمی مقید $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}\neq0$ دارد، هرچند $\rho_{\text{free}}=0$ است.

ظرفیت، انرژی و دوگانی RC

C=\frac{Q}{V}=\varepsilon\,\frac{\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}}{\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}}=\varepsilon\,g,\qquad W=\tfrac12 CV^{2}=\tfrac12\varepsilon\!\int|\mathbf{E}|^{2}\,dV.

همان ضریب هندسی $g$ بر مقاومت نشتی همان زوج الکترود نیز حاکم است و دوگانی زیر را می‌دهد

R=\frac{1}{\sigma g}\ \Rightarrow\ \boxed{\,RC=\frac{\varepsilon}{\sigma}\,}.

هندسه حذف می‌شود: با دانستن $\sigma$ ، $\varepsilon$ و یکی از دو کمیت $R$ یا $C$ ، دیگری بدون هیچ اطلاعی از شکل به‌دست می‌آید.

این دوگانی زمانی برقرار است که $\varepsilon/\sigma$ در همه‌جا بین الکترودها یکسان باشد (به‌ویژه برای محیط همگن). اگر $\sigma$ از نقطه‌ای به نقطهٔ دیگر تغییر کند ولی $\varepsilon$ تغییر نکند، $R$ را مستقیماً به روش زیر محاسبه کنید.

رسانش پایا و مقاومت یک رسانای غیریکنواخت

جریان پایا از همان زوج معادلاتِ الکتروستاتیکِ بدون بار پیروی می‌کند، با $\mathbf{J}$ به‌جای $\mathbf{D}$ و $\sigma$ به‌جای $\varepsilon$ :

\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},\qquad \nabla\cdot\mathbf{J}=0,\qquad \nabla\times\mathbf{E}=0,\qquad R=\frac{V}{I}=\frac{\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}}{\int\sigma\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}} .

پس جریان کل $I$ گذرنده از هر سطح مقطع یکسان است (درست مانند شار $\mathbf{D}$ )، و قواعد زیربخش قبل کلمه‌به‌کلمه به اینجا منتقل می‌شوند.

$\sigma$ در امتداد جریان تغییر می‌کند (برش‌های سری). رسانا را به تیغه‌های نازکِ عمود بر شارش برش دهید؛ هر کدام مقاومت $d\ell/(\sigma A)$ دارد و این مقاومت‌ها با هم جمع می‌شوند:

R=\int\frac{d\ell}{\sigma(\ell)\,A(\ell)} .

$\sigma$ در عرض جریان تغییر می‌کند (رشته‌های موازی). وقتی الکترودها صفحه‌های موازی به فاصلهٔ $L$ از هم باشند و $\sigma$ فقط به مختصات عرضی وابسته باشد، $E=V/L$ یکنواخت است و رسانایی‌ها با هم جمع می‌شوند:

G=\frac1R=\frac{1}{L}\int\sigma\,dA .

سطح مقطع $A(\ell)$ که جریان از آن می‌گذرد، برای الگوهای استاندارد شارش:

شارش	سطح مقطع $A$	مقاومت با $\sigma$ یکنواخت
محوری، در امتداد میله‌ای با سطح مقطع $A$ و طول $L$	$A$	$\dfrac{L}{\sigma A}$
شعاعی در پوستهٔ هم‌محور $a<\rho<b$ ، به طول $\ell$	$2\pi\rho\ell$	$\dfrac{\ln(b/a)}{2\pi\sigma\ell}$
شعاعی بین دو کرهٔ کامل $a<r<b$	$4\pi r^{2}$	$\dfrac{1}{4\pi\sigma}\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)$
شعاعی درون مخروط $0\le\theta\le\theta_0$	$2\pi r^{2}(1-\cos\theta_0)$	$\dfrac{1}{2\pi\sigma(1-\cos\theta_0)}\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)$
شعاعی درون گُوِه‌ای با زاویهٔ $\alpha$ ، به طول $\ell$	$\alpha\rho\ell$	$\dfrac{\ln(b/a)}{\sigma\alpha\ell}$

در حالت کلی، قطاعی با زاویهٔ فضایی $\Omega$ دارای $A=\Omega r^{2}$ است. برای $\sigma(r)$ غیریکنواخت کافی است $\sigma$ را درون انتگرال نگه دارید، $R=\displaystyle\int_a^b\frac{dr}{\sigma(r)\,A(r)}$ . مسیر معادل از راه میدان چنین است: $I$ را فرض کنید، $J=I/A$ را قرار دهید، سپس $E=J/\sigma$ ، $V=\int E\,d\ell$ ، $R=V/I$ .

بار درون یک رسانای غیریکنواخت. چون $\mathbf{D}=(\varepsilon/\sigma)\mathbf{J}$ و $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ است، جریان پایا بار حجمی آزاد زیر را ایجاد می‌کند

\rho_{\text{free}}=\nabla\cdot\mathbf{D}=\mathbf{J}\cdot\nabla\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right),

که فقط در جایی صفر است که $\varepsilon/\sigma$ یکنواخت باشد.

۳. روش — چگونه به یک مسئلهٔ الکتروستاتیک حمله کنیم

تقارن را دسته‌بندی کنید. کروی، استوانه‌ای یا صفحه‌ای؟ همین، سطح گاوسی را تعیین می‌کند (کره، استوانهٔ هم‌محور یا قوطی استوانه‌ای کوتاه) که روی آن $\mathbf{E}$ (یا $\mathbf{D}$ ) ثابت و یا عمود یا مماس است.
آیا دی‌الکتریک وجود دارد؟ اگر بله، با $\mathbf{D}$ کار کنید: $\mathbf{D}$ را از بار آزاد محصور به‌دست آورید (مستقل از ماده)، سپس $\mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon$ و $\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}$ را ناحیه‌به‌ناحیه حساب کنید.
رسانای زمین‌شده در نزدیکی هست؟ از روش تصاویر استفاده کنید: رسانا را حذف کنید، بارهای تصویرِ آینه‌ای با علامت مخالف را که نسبت به سطح (پیشینِ) رسانا بازتاب یافته‌اند اضافه کنید، و فقط در ناحیهٔ فیزیکی برهم‌نهی کنید. تصویر، شرط مرزی $V=0$ را روی صفحه بازتولید می‌کند.
پتانسیل لازم است؟ یا $V(b)-V(a)=-\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$ را از یک مرجع انتگرال بگیرید، یا — با معلوم بودن $V$ — مشتق بگیرید: $\mathbf{E}=-\nabla V$ . روی نمودار یک‌بعدی، اندازهٔ میدان = تندترین شیب.
بار مقید / القایی؟ حجمی: $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}$ . مرزی: $\sigma_b=(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_2)\cdot\hat{\mathbf{n}}$ — همیشه یک تفاضل.
ظرفیت / مقاومت؟ $Q$ را فرض کنید، $\mathbf{E}$ را بیابید، تا $V$ انتگرال بگیرید و $C=Q/V$ را بنویسید؛ اگر $\sigma$ و $\varepsilon$ هر دو داده شده باشند، مستقیماً به سراغ $RC=\varepsilon/\sigma$ بروید.
بیش از یک دی‌الکتریک؟ بپرسید مرزها در امتداد میدان‌اند یا عمود بر آن. در امتداد: $\mathbf{E}$ مشترک است، $\sum\varepsilon_iE\,\Delta S_i$ را در قانون گاوس قرار دهید (گذردهی میانگین وزن‌دار). عمود: $\mathbf{D}$ مشترک است، ولتاژهای $Dt_i/\varepsilon_i$ را جمع کنید (فاصلهٔ هوایی هم‌ارز). $\varepsilon$ تدریجی: $\varepsilon\,dV/dx=c$ را انتگرال بگیرید، هرگز $V''=0$ را نه. سپس پیش از مقایسهٔ دو حالت مشخص کنید چه چیزی ثابت است — $V$ (باتری متصل) یا $Q$ (منزوی)؛ چگالی بار صفحه $\rho_s=D_n$ است.
بار مقید درون یک سطح؟ از $Q_b^{\text{enc}}=-\oint\mathbf{P}\cdot d\mathbf{S}$ استفاده کنید؛ $\sigma_b$ را فقط وقتی اضافه کنید که سطحِ خودِ جسم نیز محصور شده باشد.
مقاومت با $\sigma$ غیریکنواخت؟ جهت شارش جریان را از روی الکترودها تشخیص دهید. $\sigma$ متغیر در امتداد شارش: $R=\int d\ell/(\sigma A)$ . $\sigma$ متغیر در عرض شارش: $G=\tfrac1L\int\sigma\,dA$ . یکای هر ثابتی مانند $\sigma_0$ را بررسی کنید — اغلب همین، پاسخ را مشخص می‌کند.

۴. مثال‌های کوتاهِ حل‌شده

مثال کوتاه A — کرهٔ دی‌الکتریک باردار

یک کرهٔ توپر دی‌الکتریک به شعاع $a$ و گذردهی $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ بار حجمی آزاد یکنواخت $\rho_{\text{free}}$ دارد و در خلأ قرار گرفته است. $\mathbf{E}$ را در درون و بیرون، و بار سطحی مقید را در $r=a$ بیابید.

جابه‌جایی از قانون گاوس (فقط بار آزاد). برای $r<a$ بار آزاد محصور برابر $\rho_{\text{free}}\cdot\tfrac43\pi r^{3}$ است، پس

D_r\,4\pi r^{2}=\rho_{\text{free}}\tfrac43\pi r^{3}\ \Rightarrow\ D_r=\frac{\rho_{\text{free}}\,r}{3}\quad(r<a),\qquad D_r=\frac{\rho_{\text{free}}\,a^{3}}{3r^{2}}\quad(r>a).

$\mathbf{D}$ هر ماده‌ای که باشد یکسان است — تنها بار آزاد آن را تعیین می‌کند.

میدان. بر گذردهی موضعی تقسیم کنید:

E_r=\frac{\rho_{\text{free}}\,r}{3\varepsilon}\ (r<a),\qquad E_r=\frac{\rho_{\text{free}}\,a^{3}}{3\varepsilon_0 r^{2}}\ (r>a).

مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ در $r=a$ پیوسته است (بار سطحی آزاد وجود ندارد)، در حالی که $E_r$ هنگام ورود به خلأ با ضریب $\varepsilon_r$ به بالا پرش می‌کند.

بار سطحی مقید. در درون، $P_r=D_r-\varepsilon_0 E_r=\dfrac{\rho_{\text{free}}r}{3}\left(1-\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)$ ؛ درست بیرون $\mathbf{P}=0$ . بنابراین

\sigma_b=P_r(a^-)-P_r(a^+)=\frac{\rho_{\text{free}}\,a}{3}\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)>0.

برای وارسی، بار مقید حجمی برابر $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}=-\left(1-\tfrac{1}{\varepsilon_r}\right)\rho_{\text{free}}$ است، و کل بار مقید (حجمی + سطحی) پس از انتگرال‌گیری صفر می‌شود، همان‌طور که باید.

مثال کوتاه B — تیغهٔ دی‌الکتریک در فاصله‌ای با ولتاژ ثابت

یک خازن صفحه‌موازی با فاصلهٔ $d$ به کمک باتری در ولتاژ $V_0$ نگه داشته می‌شود. تیغه‌ای با $\varepsilon_r=4$ و ضخامت $d/2$ روی یکی از صفحه‌ها قرار می‌گیرد و یک لایهٔ هوا به ضخامت $d/2$ باقی می‌ماند. چگالی بار صفحه با چه ضریبی تغییر می‌کند؟

مرز بر میدان عمود است، پس $D$ مشترک است. فاصلهٔ هوایی هم‌ارز برابر است با

d_{\text{eff}}=\frac d2+\frac{d/2}{4}=\frac{5d}{8}\quad\Rightarrow\quad D=\frac{\varepsilon_0V_0}{d_{\text{eff}}}=\frac85\,\frac{\varepsilon_0V_0}{d}.

پیش از وارد کردن تیغه $\rho_s=\varepsilon_0V_0/d$ بود، پس چگالی بار روی هر دو صفحه با ضریب $\tfrac85$ افزایش می‌یابد. وارسی: $E_{\text{air}}=\tfrac85\tfrac{V_0}{d}$ و $E_{\text{diel}}=\tfrac25\tfrac{V_0}{d}$ ، و $E_{\text{air}}\tfrac d2+E_{\text{diel}}\tfrac d2=\left(\tfrac85\cdot\tfrac12+\tfrac25\cdot\tfrac12\right)V_0=V_0$ ، همان‌گونه که باید باشد. اگر به‌جای آن صفحه‌ها منزوی بودند، $D$ و $\rho_s$ بدون تغییر می‌ماندند و ولتاژ به $\tfrac58V_0$ کاهش می‌یافت.

مثال کوتاه C — بار نقطه‌ای روی مرز یک نیم‌فضای دی‌الکتریک

یک بار نقطه‌ای $Q$ روی سطح تخت دی‌الکتریکی ( $\varepsilon_r=4$ ) قرار دارد که نیم‌فضای زیر آن را پر کرده است؛ بالای آن خلأ است. $E$ را در فاصلهٔ $r$ بیابید.

میدان شعاعی بر مرز تخت مماس است، پس $E(r)$ در هر دو نیمه یکسان است. هر نیمه زاویهٔ فضایی $\Delta\Omega=2\pi$ را می‌پوشاند:

\left(\varepsilon_0+4\varepsilon_0\right)E\cdot2\pi r^{2}=Q\quad\Rightarrow\quad E=\frac{Q}{10\pi\varepsilon_0r^{2}} ,

یعنی همان فرمول خلأ با $\varepsilon_{\text{eff}}=\tfrac52\varepsilon_0$ . جابه‌جایی در بالا $D=Q/(10\pi r^{2})$ و در پایین چهار برابرِ آن است.

مثال کوتاه D — دی‌الکتریک تدریجی بین دو صفحه

صفحه‌هایی در $x=0$ ( $V=0$ ) و $x=d$ ( $V=V_0$ ) یک دی‌الکتریک بدون بار با $\varepsilon(x)=\varepsilon_0(1+x/d)^{2}$ را در بر گرفته‌اند. $V(x)$ را بیابید.

\int_0^{x}\frac{dx'}{(1+x'/d)^{2}}=\frac{xd}{d+x},\qquad \int_0^{d}\frac{dx'}{(1+x'/d)^{2}}=\frac d2\quad\Rightarrow\quad V(x)=V_0\,\frac{2x}{d+x}.

وارسی: $V(d)=V_0$ ، و $\varepsilon\,V'=\varepsilon_0\dfrac{(d+x)^{2}}{d^{2}}\cdot\dfrac{2V_0d}{(d+x)^{2}}=\dfrac{2\varepsilon_0V_0}{d}$ ثابت است، همان‌طور که لازم است. ظرفیت در واحد سطح $2\varepsilon_0/d$ است، و نمایهٔ پتانسیل آن خط راست $V_0x/d$ که معادلهٔ لاپلاس می‌داد نیست.

مثال کوتاه E — بار مقید محصور در یک کرهٔ قطبیده

کره‌ای به شعاع $a$ دارای قطبش $\mathbf{P}=k\,r\,\hat{\mathbf{r}}$ است. بار مقید درون شعاع $r<a$ را بیابید.

Q_b^{\text{enc}}=-P_r(r)\cdot4\pi r^{2}=-4\pi kr^{3}.

وارسی: $\rho_b=-\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\left(kr^{3}\right)=-3k$ ، و $-3k\cdot\tfrac43\pi r^{3}=-4\pi kr^{3}$ . روی سطح $\sigma_b=ka$ است که سهم $+4\pi ka^{3}$ را می‌دهد و مجموع حجمی $-4\pi ka^{3}$ را خنثی می‌کند.

مثال کوتاه F — مقاومت با رسانندگی غیریکنواخت

(i) یک پوستهٔ هم‌محور $a<\rho<b$ به طول $\ell$ دارای $\sigma=\sigma_0\,\rho/a$ است؛ الکترودها همان دو سطح استوانه‌ای هستند. جریان شعاعی است و $\sigma$ در امتداد آن تغییر می‌کند، پس پوسته‌ها سری هستند:

R=\int_a^b\frac{d\rho}{\dfrac{\sigma_0\rho}{a}\cdot2\pi\rho\ell}=\frac{a}{2\pi\sigma_0\ell}\left(\frac1a-\frac1b\right)=\frac{b-a}{2\pi\sigma_0\ell\,b}.

(ii) میله‌ای به طول $L$ و سطح مقطع مستطیلی $w\times h$ جریان را در امتداد طول خود عبور می‌دهد، و $\sigma=\sigma_0(1+y/h)$ در عرضِ ارتفاع $0\le y\le h$ تغییر می‌کند. اکنون رشته‌ها موازی هستند:

G=\frac{w}{L}\int_0^{h}\sigma_0\left(1+\frac yh\right)dy=\frac{3\sigma_0wh}{2L}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{2L}{3\sigma_0wh}.

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

صفحهٔ باردار روبه‌روی یک صفحهٔ زمین‌شده. تصویر یک صفحهٔ $+\rho_s$ یک صفحهٔ $-\rho_s$ است؛ بین آن‌ها دو نیم‌میدان با هم جمع می‌شوند و میدان یکنواختِ دو برابرشدهٔ $\rho_s/\varepsilon_0$ به‌سوی صفحه را می‌سازند — میدان یک خازن صفحه‌موازی — و میدان بیرون از فاصله صفر است.
گذردهی پیوستهٔ طراحی‌شده. اگر $\varepsilon(r)$ طوری انتخاب شود که در عبور از مرز پیوسته باشد (مثلاً یک نمایهٔ تدریجی $\varepsilon_0\cdot 2/r$ که در مرز با مقدار ثابت مجاور برابر می‌شود)، آنگاه مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ و $\varepsilon$ هر دو یکسان‌اند، پس مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{P}$ نیز یکسان است و $\sigma_b=0$ ، هرچند دی‌الکتریک حضور دارد.
بار نقطه‌ای در دی‌الکتریک یکنواخت. در همه‌جا $\mathbf{D}=Q/4\pi r^{2}$ ؛ درون دی‌الکتریک $\mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon$ با ضریب $\varepsilon_r$ کاهش می‌یابد و $\mathbf{P}=\mathbf{D}\left(1-\tfrac{1}{\varepsilon_r}\right)$ ؛ $\lvert\mathbf{E}\rvert$ با نزدیک شدن به بار بی‌کران رشد می‌کند ( $\propto 1/r^{2}$ ) و هرگز در مرز بیشینه نیست. هر جا محیط خلأ/هوا باشد $\mathbf{P}=0$ است.
نمودارهای پتانسیل یک‌بعدی. $|E|$ از تندی $V(x)$ پیروی می‌کند؛ روی یک $V$ یکنوای S‌شکل (سیگموئید)، میدان در نقطهٔ عطف مرکزی بیشینه می‌شود، نه در دو سر تختِ بالا/پایین.
میان‌بُر دوگانی RC. با داشتن هر دو مقدار $\sigma$ و $\varepsilon$ برای یک زوج الکترود به‌همراه $R$ یا $C$ ، از $RC=\varepsilon/\sigma$ استفاده کنید و هندسه را به‌کلی کنار بگذارید (مراقب یکاها باشید: یکای $\sigma R$ برابر $\text{m}^{-1}$ است و $\varepsilon$ برحسب F/m است، پس $C=\varepsilon/(\sigma R)$ برحسب فاراد به دست می‌آید).
رسانا در میدان. رسانا یک هم‌پتانسیل با $\mathbf{E}=0$ در درون است؛ بار سطحی القایی $\rho_s=D_n=\varepsilon E_n$ است ( $\varepsilon_0E_n$ در هوا) و همهٔ شار فرودی را پایان می‌دهد.
دی‌الکتریک‌های کنار هم در خازن. اگر مرز موازی با میدان باشد (هر دی‌الکتریک کل فاصله را روی بخشی از سطح صفحه پر کند)، $E=V/d$ مشترک است و چگالی بار صفحه روی هر بخش $\varepsilon_iV/d$ است: $C=\sum_i\varepsilon_iA_i/d$ .
تیغهٔ رسانا در فاصلهٔ خازن. رسانایی به ضخامت $t$ که موازی با صفحه‌ها وارد شود، در درون $E=0$ دارد و مانند $\varepsilon_r\to\infty$ رفتار می‌کند: $d_{\text{eff}}=d-t$ .
رسانندگی‌ای که اثر پخش‌شدگی را خنثی می‌کند. در شارش شعاعی انتگرال‌ده $1/(\sigma A)$ است؛ نمایه‌ای مانند $\sigma\propto1/r^{2}$ در شارش کروی یا $\sigma\propto1/\rho$ در شارش استوانه‌ای $\sigma A$ را ثابت می‌کند، پس $E$ یکنواخت است و $R\propto(b-a)$ به‌جای $\tfrac1a-\tfrac1b$ یا $\ln\tfrac ba$ .
رسانای لایه‌ای. لایه‌هایی که جریان پی‌درپی از آن‌ها می‌گذرد به‌صورت $\sum t_i/(\sigma_iA)$ جمع می‌شوند؛ در حالت پایا مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{J}$ پیوسته است، پس مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ پیوسته نیست، و بار سطحی آزاد $\rho_s=J_n\left(\dfrac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\dfrac{\varepsilon_1}{\sigma_1}\right)$ (جریان از محیط ۱ به محیط ۲ می‌رود) روی مرز جمع می‌شود.

تلهٔ رایج: سه واقعیت مربوط به پیوستگی را با هم اشتباه نگیرید. در عبور از مرزی بدون بار سطحی آزاد، این مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ است که پیوسته است — $\mathbf{E}$ و $\mathbf{P}$ عموماً پرش می‌کنند. بار سطحی مقید برابر تفاضل $(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_2)\cdot\hat{\mathbf{n}}$ است، پس محاسبهٔ $P$ در یک طرف و توقف در همان‌جا نادرست است؛ اگر $\varepsilon$ در آنجا پیوسته باشد، $\sigma_b=0$ . و میدان یک‌بعدی شیب $V$ است، پس نقطهٔ بیشینهٔ پتانسیل می‌تواند میدانی تقریباً صفر داشته باشد، در حالی که یک نقطهٔ میانیِ پرشیب قوی‌ترین میدان را دارد.

نکتهٔ کنکوری: پیش از دست زدن به مسئله‌ای با چند دی‌الکتریک یا رسانای غیریکنواخت، تعیین کنید سری است یا موازی. مرزهای عمود بر میدان: $\mathbf{D}$ (یا $\mathbf{J}$ ) مشترک است، $t/\varepsilon$ (یا $d\ell/\sigma A$ ) را جمع کنید. مرزهای در امتداد میدان: $\mathbf{E}$ مشترک است، $\varepsilon\,\Delta S$ (یا $\sigma\,dA$ ) را جمع کنید. وقتی مرز موازی با میدان است هرگز میدان خلأ را بر $\varepsilon_r$ تقسیم نکنید، در دی‌الکتریک تدریجی هرگز $\nabla^{2}V=0$ را حل نکنید، و هرگز از $\sigma$ انتگرال نگیرید وقتی $1/\sigma$ لازم است. برای یک خط بار نامتناهی تنها فاصله‌ای که اهمیت دارد فاصلهٔ عمودی تا خط است، نه فاصلهٔ سه‌بعدی تا نقطه‌ای روی آن.

فرمول‌های کلیدی

Gauss (total charge, E)

\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q_{\text{enc}}^{\text{tot}}}{\varepsilon_0}

Gauss (free charge, D)

\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{enc}}^{\text{free}},\qquad \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}

Point / line / sheet fields

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}},\qquad E=\frac{\rho_L}{2\pi\varepsilon_0 r},\qquad E=\frac{\rho_s}{2\varepsilon_0}

Field is minus the potential gradient

\mathbf{E}=-\nabla V,\qquad E_x=-\frac{dV}{dx}

Poisson / Laplace

\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}

Linear-dielectric constitutive law

\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},\qquad \mathbf{P}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\mathbf{E}=\mathbf{D}\left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\right)

Bound charge (volume / interface)

\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P},\qquad \sigma_b=(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_2)\cdot\hat{\mathbf{n}}_{1\to2}

Interface conditions

D_{2n}-D_{1n}=\rho_{s,\text{free}},\qquad E_{1t}=E_{2t}

Capacitance and stored energy

C=\frac{Q}{V},\qquad W=\tfrac12 CV^{2}=\tfrac12\varepsilon\!\int|\mathbf{E}|^{2}\,dV

Electrostatics-conduction duality

RC=\frac{\varepsilon}{\sigma}

Enclosed bound charge

Q_b^{\text{enc}}=-\oint_S\mathbf{P}\cdot d\mathbf{S}

Interfaces parallel to the field (common E)

E(\rho)=\frac{\rho_L}{\rho\sum_i\varepsilon_i\,\Delta\varphi_i},\qquad E(r)=\frac{Q}{r^{2}\sum_i\varepsilon_i\,\Delta\Omega_i}

Series dielectric layers (common D)

D=\frac{V}{\sum_i t_i/\varepsilon_i},\qquad d_{\text{eff}}=\sum_i\frac{t_i}{\varepsilon_{r,i}}

Free charge on a conductor

\rho_s=D_n=\varepsilon E_n

Graded dielectric (charge-free)

\nabla\cdot\left(\varepsilon\nabla V\right)=0,\qquad V(x)=V_0\,\frac{\int_0^{x}dx'/\varepsilon(x')}{\int_0^{d}dx'/\varepsilon(x')}

Resistance, conductivity varying along the current

R=\int\frac{d\ell}{\sigma(\ell)\,A(\ell)}

Conductance, conductivity varying across the current

G=\frac{1}{R}=\frac{1}{L}\int\sigma\,dA

Radial resistance of a spherical sector (uniform conductivity)

R=\frac{1}{\sigma\,\Omega}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right),\qquad \Omega=2\pi(1-\cos\theta_0)

#electrostatics#gauss-law#electric-potential#dielectrics#polarization#capacitance#method-of-images#resistance

سوالات تمرینی · 8/37

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۲

یک صفحه بی‌نهایت با چگالی بار یکنواخت ρ_s در فاصله d از یک صفحه تخت هادی بی‌نهایت زمین‌شده قرار دارد. هردو صفحه موازی صفحه xoy هستند. میدان الکتریکی در صفحه z = d/2 از هادی برابر با کدام گزینه است؟

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۳

مطابق شکل، بار خطی ρ_L(c/m) به طول بی‌نهایت در مرکز یک استوانه بسیار طویل سه‌لایه قرار دارد. ضریب گذردهی الکتریکی در فاصله ۰ < r < ۰٫۵ برابر با ε_0 ، در فاصله ۰٫۵ < r < ۱ برابر با ۲ε_0 و در فاصله ۱ <…

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۴

دو رسانا در محیطی با ضریب هدایت (Ω)/m ۱۰^(-۴) و ضریب گذردهی‌الکتریکی ۸۰ قرار دارد. مقاومت بین دو هادی ۱۰۰kΩ است. ظرفیت الکتریکی بین دو رسانا، چند pF (پیکوفاراد) است؟

الکترومغناطیسآسانالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۵

در شکل زیر، تابع پتانسیل یک متغیره نشان داده شده است، درنظر بگیرید. در کدام نقطه، دامنه شدت میدان الکتریکی بیشینه است؟ (منحنی V(x) یک منحنی هموار و پیوسته نزولی به‌شکل S است: در نقطه A بالا و تقریباً…

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۲۰

بار Q = +۱μC در مرکز یک کرهٔ عایقی به شعاع r = ۱m با ضریب دی‌الکتریک نسبی ۲ = ε_r قرار دارد. این کره توسط هوا محصور شده است. کدام گزینه درخصوص این مسأله درست است؟

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۰۶

۱۰۶- به‌ازای کدام تابع، میدان E = y e^(-x)sin x a_x + f(x) a_y شرایط میدان الکتریکی ساکن را دارا است؟

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۰۷

یک صفحه بی‌نهایت با چگالی بار سطحی ρ_s=ρ_∘ در صفحه xz قرار دارد. شار الکتریکی گذرنده از صفحه مستطیلی نمایش‌داده‌شده در شکل زیر، چه ضریبی از ρ_∘ است؟ (گوشه‌های مستطیل: (۵,۵,۰) ، (۵,۵,۵) ، (۰,۱۰,۵) و…

الکترومغناطیسمتوسطالکترواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۰۸

در شکل زیر، زنجیره‌ای از بارهای +q و -q بر روی یک خط راست، تا بی‌نهایت قرار دارند. فاصله بین دو بار متوالی، a است. بار q_A روی یکی از گره‌های زنجیر قرار دارد و آرایش نسبت به آن متقارن است: دو همسایهٔ…

همهٔ 37 سؤال →