سوال ۱۱۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

تنظیم مسئله. سطح رسانای زمین‌شده را در $z=0$ قرار می‌دهیم (رسانا ناحیهٔ $z<0$ را اشغال می‌کند) و صفحهٔ باردار را در $z=d$ با چگالی یکنواخت $\rho_s$ می‌گذاریم. میدان را در فاصلهٔ میان دو صفحه، در $z=\tfrac{d}{2}$، می‌خواهیم.

روش تصویر. یک صفحهٔ رسانای زمین‌شده با تصویر بار واقعی که نسبت به آن صفحه بازتاب یافته و علامتش برعکس شده جایگزین می‌شود. تصویر صفحهٔ باردار ($+\rho_s$ در $z=d$) یک صفحهٔ $-\rho_s$ در $z=-d$ است. در ناحیهٔ فیزیکی $0<z<d$ میدان برهم‌نهی این دو صفحهٔ بی‌نهایت است.

میدان یک صفحهٔ بی‌نهایت با چگالی $\sigma$ یکنواخت است و اندازهٔ آن $\dfrac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ است؛ اگر $\sigma>0$ باشد از صفحه دور می‌شود (و اگر $\sigma<0$ باشد به سمت آن است).

صفحهٔ واقعی ($+\rho_s$ در $z=d$)، در نقاط پایین آن ($z<d$): در جهت $-\hat{z}$ است،

صفحهٔ تصویر ($-\rho_s$ در $z=-d$)، در نقاط بالای آن ($z>-d$): یک صفحهٔ منفی میدان را به سمت خود می‌کشد، یعنی در جهت $-\hat{z}$،

برهم‌نهی (درون فاصله مستقل از $z$ است، پس مقدار در $z=\tfrac{d}{2}$ برابر است با):

بررسی درستی (تصویر خازنی). صفحهٔ باردار و صفحهٔ زمین‌شده مانند یک خازن تخت موازی رفتار می‌کنند: صفحهٔ زمین‌شده بار القایی $-\rho_s$ حمل می‌کند، پس تمام شار صفحهٔ باردار روی رسانا خاتمه می‌یابد. میدان درون فاصله همان میدان خازن $\dfrac{\rho_s}{\varepsilon_0}$ است (دو برابر میدان یک صفحهٔ منفرد)، که از صفحهٔ مثبت به سمت صفحهٔ زمین‌شده است، یعنی $-\hat{z}$. بیرون از فاصله ($z>d$) میدان صفر است — سازگار با یک خازن.

این گزینهٔ ۳ است.

نکتهٔ کنکوری: در مجاورت یک رسانای زمین‌شده میدان دو برابر می‌شود و برابر $\rho_s/\varepsilon_0$ است (نه $\rho_s/2\varepsilon_0$)، زیرا بار تصویرِ القایی سهمی برابر می‌افزاید — و به سمت صفحهٔ زمین‌شده اشاره می‌کند.