سوال ۱۰۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

۱. میدان صفحهٔ باردار بی‌نهایت

یک صفحهٔ بی‌نهایت با چگالی بار سطحی $\rho_s=\rho_0$ که در صفحهٔ $xz$ قرار دارد، چگالی شار الکتریکی یکنواختی تولید می‌کند که از صفحه دور می‌شود و بر آن عمود است (یعنی در راستای $\pm\hat{a}_y$):

$\mathbf{D}=\frac{\rho_s}{2}\,\hat{a}_n=\frac{\rho_0}{2}\,\hat{a}_y \qquad (y>0)$

مستطیل به‌طور کامل در ناحیهٔ $y>0$ قرار دارد (نقاط آن $y=5$ و $y=10$ دارند)، بنابراین در سراسر این سطح $\mathbf{D}=\tfrac{\rho_0}{2}\hat{a}_y$ است و به مکان بستگی ندارد. شار الکتریکی برابر است با

$\Psi=\int_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\mathbf{D}\cdot\hat{a}_n\,S .$

۲. هندسهٔ مستطیل

گوشهٔ $P_1=(5,5,0)$ را در نظر بگیرید و دو بردار یال را بسازید:

$\mathbf{u}=(0,10,0)-(5,5,0)=(-5,5,0),\qquad \mathbf{v}=(5,5,5)-(5,5,0)=(0,0,5).$

این دو بر هم عمودند ($\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$)، که تأیید می‌کند شکل یک مستطیل است، با

$|\mathbf{u}|=5\sqrt{2},\qquad |\mathbf{v}|=5 \;\Rightarrow\; S=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|=25\sqrt{2}.$

بردار یکهٔ عمود بر آن:

$\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{vmatrix}\hat{a}_x&\hat{a}_y&\hat{a}_z\\ -5&5&0\\ 0&0&5\end{vmatrix}=25\,\hat{a}_x+25\,\hat{a}_y \;\Rightarrow\; \hat{a}_n=\frac{\hat{a}_x+\hat{a}_y}{\sqrt{2}} .$

۳. شار

$\Psi=\frac{\rho_0}{2}\,\hat{a}_y\cdot\frac{\hat{a}_x+\hat{a}_y}{\sqrt{2}}\;(25\sqrt{2})=\frac{\rho_0}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 25\sqrt{2}=\frac{25}{2}\,\rho_0 .$

۴. بررسی یک‌خطی (تصویر کردن)

چون $\mathbf{D}$ یکنواخت و در راستای $\hat{a}_y$ است، تنها تصویر مستطیل روی صفحهٔ $xz$ اهمیت دارد. این سایه، $x$ را از $0$ تا $5$ و $z$ را از $0$ تا $5$ می‌پوشاند، یعنی مربعی $5\times 5$ با مساحت $25$. بنابراین

$\Psi=\frac{\rho_0}{2}\times 25=\frac{25}{2}\rho_0 .$

شار برابر $\dfrac{25}{2}$ برابر $\rho_0$ است — گزینهٔ ۴.

نکتهٔ کنکوری: برای میدان یکنواخت هرگز انتگرال نگیرید — شار $=$ میدان $\times$ مساحت تصویرشده روی صفحهٔ عمود بر میدان. اینجا ضریب شیب $\cos\theta=1/\sqrt{2}$ دقیقاً کشیدگی $\sqrt{2}$ مستطیل مایل را خنثی می‌کند، پس پاسخ همان پاسخ یک وصلهٔ $5\times5$ موازی با صفحه است. همچنین به یاد داشته باشید میدان صفحه $\rho_s/2$ است نه $\rho_s$ — همین ضریب $\tfrac12$ است که گزینهٔ انحرافی $25$ را از پاسخ درست $25/2$ جدا می‌کند.