سوال ۱۰۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

اهمیت

۰/۵

در شکل زیر، زنجیره‌ای از بارهای $+q$ و $-q$ بر روی یک خط راست، تا بی‌نهایت قرار دارند. فاصله بین دو بار متوالی، $a$ است. بار $q_A$ روی یکی از گره‌های زنجیر قرار دارد و آرایش نسبت به آن متقارن است: دو همسایهٔ نزدیک (هر طرف یکی، در فاصلهٔ $a$ ) بار $+q$ ، جفت بعدی (در فاصلهٔ $۲a$ ) بار $-q$ ، جفت بعدی (در فاصلهٔ $۳a$ ) بار $+q$ و به همین ترتیب؛ یعنی در امتداد خط: $\dots,\,+q,\,-q,\,+q,\,q_A,\,+q,\,-q,\,+q,\,\dots$ . کار لازم برای دور کردن بار $q_A$ از زنجیر و بردن آن به‌بی‌نهایت برحسب $\dfrac{q_A q}{\pi\varepsilon_\circ a}$ ، کدام است؟

(راهنمایی: $\ln(۱+x) = x - \dfrac{x^{۲}}{۲} + \dfrac{x^{۳}}{۳} - \dfrac{x^{۴}}{۴} + \cdots$ )

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $-\dfrac{\ln ۲}{۲}$

پاسخ تشریحی

گام ۱ — منظور از «کار لازم برای بردن بار به بی‌نهایت» چیست؟

کار خارجی لازم برای بردن $q_A$ از جایگاه شبکه‌ای‌اش به بی‌نهایت برابر است با

W_{\text{ext}} = U_{\infty} - U_{A} = 0 - q_A V_A = -\,q_A V_A ,

که در آن $V_A$ پتانسیلی است که در محل $q_A$ توسط تمام بارهای دیگر زنجیره ایجاد می‌شود (جملهٔ خودی کنار گذاشته می‌شود).

گام ۲ — پتانسیل در محل $q_A$ ناشی از زنجیره

از دید $q_A$ زنجیره نسبت به چپ و راست متقارن است و در هر سمت بارها به این صورت‌اند:

فاصله	$a$	$2a$	$3a$	$4a$	$\cdots$
بار	$+q$	$-q$	$+q$	$-q$	$\cdots$

پس $n$ -اُمین همسایه در هر سمت بار $(-1)^{n+1}q$ را در فاصلهٔ $na$ دارد. با برهم‌نهی پتانسیل بارهای نقطه‌ای (ضریب $2$ برای دو سمت):

V_A = 2\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}q}{n\,a} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

گام ۳ — جمع‌بستن سری همساز متناوب

راهنمای داده‌شده دقیقاً همان سری مرکاتور در $x=1$ است:

\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots \;\;\Longrightarrow\;\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2 .

بنابراین

V_A = \frac{q\,\ln 2}{2\pi\varepsilon_0 a}\;(>0).

گام ۴ — انرژی و کار

انرژی برهم‌کنش $q_A$ با زنجیره برابر است با

U_A = q_A V_A = \frac{q_A q\,\ln 2}{2\pi\varepsilon_0 a},

و در نتیجه

W_{\text{ext}} = -U_A = -\frac{q_A q\,\ln 2}{2\pi\varepsilon_0 a} = -\frac{\ln 2}{2}\cdot\frac{q_A q}{\pi\varepsilon_0 a}.

بر حسب یکای خواسته‌شدهٔ $\dfrac{q_A q}{\pi\varepsilon_0 a}$ ، ضریب عددی برابر است با

\boxed{-\frac{\ln 2}{2}} \approx -0.347 ,

که گزینهٔ ۲ است.

بررسی‌های صحت

نزدیک‌ترین همسایه‌ها در هر دو سمت $+q$ هستند، پس (برای $q_Aq>0$ ) این جایگاه یک جایگاه دافعه‌ای با انرژی مثبت است: $U_A>0$ . بنابراین رها کردن بار تا بی‌نهایت انرژی باز می‌گرداند و کار خارجی لازم منفی است — علامت پاسخ اشتباه تایپی نیست.
این سری تنها به‌طور مشروط همگراست؛ جفت‌سازی فیزیکی یعنی «هر همسایهٔ چپ با همسایهٔ متناظرش در راست»، که دقیقاً همان ترتیب مجموع‌های جزئی متقارنِ به‌کاررفته در بالاست — ضریب $2$ پیش از مجموع همین را رمزگذاری می‌کند.
اگر زنجیره جفت $-q$ را به‌عنوان نزدیک‌ترین همسایه داشت (بلور یونی یک‌بعدی معمول، با ثابت مادلونگ $2\ln 2$ )، علامت $V_A$ وارونه می‌شد و پاسخ $+\ln 2/2$ می‌گردید.

نکتهٔ کنکوری: راهنمای چاپ‌شده در صورت سؤال خودِ پاسخ است. هرگاه زنجیرهٔ یک‌بعدی متناوبی از بارهای نقطه‌ای ظاهر شود، پتانسیل به $\pm\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}\ln 2$ فرو می‌کاهد (ثابت مادلونگ $2\ln 2$ برای شبکهٔ خطی) — کافی است $\ln(1+x)$ را در $x=1$ حساب کنید و تنها علامت و $2$ در برابر $4$ در مخرج باقی می‌ماند. مراقب یکایی که سؤال می‌خواهد باشید: $\dfrac{q_Aq}{\pi\varepsilon_0 a}$ ، نه $\dfrac{q_Aq}{4\pi\varepsilon_0 a}$ — همین یک ضریب است که $\ln 2/2$ را از $\ln 2/4$ جدا می‌کند.

تلهٔ رایج: $W_{\text{ext}} = -U$ است، نه $+U$ . گزینه‌های ۱ و ۲ تنها در همین علامت تفاوت دارند: گزینهٔ ۱ کار انجام‌شده توسط میدان الکتریکی است و گزینهٔ ۲ کار انجام‌شده توسط عامل خارجی، که همان چیزی است که «کار لازم برای بردن آن به بی‌نهایت» می‌خواهد.

#electrostatics#electric-potential#potential-energy#alternating-series#madelung-constant#work-to-infinity

کارت‌های مرتبط

مفهومالکترومغناطیس

الکتروستاتیک و رسانش پایا: قانون گاوس، پتانسیل، دی‌الکتریک‌ها، ظرفیت و مقاومت

جعبه‌ابزار کامل بارهای ساکن و جریان‌های پایا در ماده: قانون گاوس برای E و D، پتانسیل و رابطهٔ E = -grad V، دی‌الکتریک‌ها همراه با بار مقید و شرایط مرزی، گذردهی تکه‌ای و تدریجی (سری در برابر موازی)، روش تصاویر، ظرفیت، و مقاومت رساناهای یکنواخت و غیریکنواخت به‌همراه دوگانی RC.

electrostaticsgauss-lawelectric-potentialdielectrics