سوال ۳۳ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

پتانسیل الکتریکی در داخل ربع دایره‌ای به شعاع ۲ (ناحیه‌ی $0\le r\le 2$، $0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$) با شرایط مرزی داده‌شده، در مختصات قطبی $(r,\theta)$ در معادله‌ی $\frac{۱}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{۱}{r^{۲}}\frac{\partial^{۲}u}{\partial\theta^{۲}}=۰$ صدق می‌کند. شرایط مرزی عبارت‌اند از: روی ضلع افقی $u(r,۰)=۰$، روی ضلع قائم $u\left(r,\tfrac{\pi}{۲}\right)=۰$ و روی کمان دایره‌ای $r=۲$ داریم $u(r,\theta)=\sin ۲\theta$. مقدار $u\left(۱,\tfrac{\pi}{۱۲}\right)$ کدام است؟