سوال ۷۱ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

مدل‌سازی مدار مغناطیسی. هسته ایده‌آل است ($\mu_{\text{core}} \to \infty$، بنابراین رلوکتانس آن صفر است) و از پراکندگی شار (fringing) صرف‌نظر می‌شود؛ پس تنها رلوکتانس موجود در حلقه، رلوکتانس فاصلهٔ هوایی است: $\mathcal{R} = \frac{g}{\mu_0 A}.$ هر دو سیم‌پیچ با همان مسیر شار تک‌حلقه‌ای پیوند دارند، بنابراین هرکدام همان رلوکتانس $\mathcal{R}$ را می‌بینند.

خودالقایی هر سیم‌پیچ. برای یک سیم‌پیچ با $N$ دور روی مدار مغناطیسی با رلوکتانس $\mathcal{R}$، $L = \frac{N^2}{\mathcal{R}}.$ پس $L_1 = \frac{N_1^{2}}{\mathcal{R}}, \qquad L_2 = \frac{N_2^{2}}{\mathcal{R}}.$

هر آزمایش یک آزمون مدار باز است. با باز بودن سیم‌پیچ دیگر، هیچ جریانی در آن جاری نمی‌شود، پس سیم‌پیچ تحریک‌شده مانند یک خودالقای خالص $L$ رفتار می‌کند (سیم‌پیچ‌ها ایده‌آل‌اند ⇒ مقاومت صفر). تحریک آن با یک ولتاژ سینوسی به مقدار مؤثر $V$ در فرکانس $\omega$ جریان مؤثر زیر را می‌دهد: $I = \frac{V}{\omega L} = \frac{V\,\mathcal{R}}{\omega N^{2}}.$

گرفتن نسبت. همان $V$ و $\omega$ و همان $\mathcal{R}$ در هر دو آزمون ظاهر می‌شوند، بنابراین $\frac{I_1}{I_2} = \frac{V\mathcal{R}/(\omega N_1^{2})}{V\mathcal{R}/(\omega N_2^{2})} = \frac{N_2^{2}}{N_1^{2}} = \left(\frac{200}{100}\right)^{2} = 4.$

سیم‌پیچی که دورهای کمتری دارد، اندوکتانس کوچک‌تری دارد و بنابراین جریان مغناطیس‌کنندهٔ بزرگ‌تری می‌کشد، پس $I_1 > I_2$ و نسبت برابر $4$ است — گزینهٔ (۴).

نکتهٔ کنکوری: اندوکتانس با $N^2$ متناسب است و جریان مدار باز (مغناطیس‌کننده) با $1/L \propto 1/N^2$ متناسب است. دو برابر کردن دورها جریان را یک‌چهارم می‌کند، پس نسبت جریان‌ها عکسِ مجذورِ نسبت دورهاست، نه خودِ نسبت دورها.