سوال ۷۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

آماده‌سازی: گشتاور از هم‌انرژی

برای یک سیستم مغناطیسیِ خطیِ دوتحریکه، هم‌انرژیِ ذخیره‌شده در میدان برابر است با

$W'(\,i_s,\,i_r,\,\theta\,)=\tfrac{1}{2}L_{ss}\,i_s^{2}+\tfrac{1}{2}L_{rr}\,i_r^{2}+L_{sr}\,i_s\,i_r.$

گشتاور الکترومغناطیسی، مشتق جزئیِ هم‌انرژی نسبت به زاویهٔ مکانیکی در جریان‌های ثابت است:

$T=\left.\frac{\partial W'}{\partial\theta}\right|_{i_s,\,i_r}.$

از آنجا که هسته ایده‌آل است (ثابت و مستقل از زاویه)، خودالقاگرهای $L_{ss}=K_1$ و $L_{rr}=K_2$ هیچ سهمی در $\partial/\partial\theta$ ندارند. تنها جملهٔ متقابل $L_{sr}=M\cos\theta$ با $\theta$ تغییر می‌کند:

$T=i_s\,i_r\,\frac{\partial}{\partial\theta}\big(M\cos\theta\big)=-M\,i_s\,i_r\,\sin\theta.$

بنابراین اندازهٔ آن برابر است با

$|T|=M\,i_s\,i_r\,|\sin\theta|.$

گام ۱ — یافتن $M$ از نقطهٔ کارِ نخست

با $i_s=10$ A، $i_r=20\sqrt{2}$ A، $\theta=45^\circ$ (پس $\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$) و $|T|=20$ kN·m:

$20 = M\cdot 10\cdot 20\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=M\cdot 10\cdot 20\cdot\frac{2}{2}=200\,M.$

$\Rightarrow\; M=\frac{20}{200}=0.1\ \text{(kN·m per A}^2\text{)}.$

گام ۲ — ارزیابی نقطهٔ کارِ دوم

با $i_s=20$ A، $i_r=5$ A، $\theta=90^\circ$ (پس $\sin90^\circ=1$):

$|T|=M\,i_s\,i_r\,|\sin\theta|=0.1\cdot 20\cdot 5\cdot 1=10\ \text{kN·m}.$

پاسخ گزینهٔ ۲ (۱۰ kN·m) است.

نکتهٔ کنکوری: تنها القاگرهایی که به زاویهٔ روتور وابسته‌اند گشتاور تولید می‌کنند. خودالقاگرهای ثابت $K_1,K_2$ صرفاً عوامل انحرافی هستند — کل مسئله به همان رابطهٔ واحد $|T|=M\,i_s\,i_r\,|\sin\theta|$ تقلیل می‌یابد. به حاصل‌ضرب $20\sqrt{2}\times\sin45^\circ$ دقت کنید: دو عامل $\sqrt2$ یکدیگر را حذف می‌کنند و $200M$ تمیزی به دست می‌دهند.