مدارهای مغناطیسی: رلوکتانس، شار، انرژی ذخیره‌شده و نیروی کشش

۱. ایدهٔ اصلی

مدار مغناطیسی مسیر بسته‌ای از مادهٔ با نفوذپذیری مغناطیسی بالا (آهن، فولاد سیلیسیم‌دار، فریت) است که معمولاً با یک یا چند فاصلهٔ هوایی قطع شده و شار مغناطیسی $\Phi$ در امتداد آن هدایت می‌شود، همان‌گونه که جریان در سیم‌ها هدایت می‌شود. سیم‌پیچ‌های حامل جریان «فشارِ» محرک را تأمین می‌کنند. این مدل، ابزار اصلی تحلیل همهٔ ادوات تبدیل انرژی الکترومغناطیسی است: ترانسفورماتورها، سلف‌ها، رله‌ها، سولنوئیدها و ماشین‌های دوار.

قدرت این روش در تشابه مستقیم آن با مدار الکتریکی مقاومتی است:

این تشابه از نظر جبری دقیق است، اما دو واقعیت مهم را پنهان می‌کند: نفوذپذیری آهن غیرخطی است (اشباع می‌شود) و شار واقعاً محصور نمی‌ماند (شار نشتی/پراکندگی لبه‌ای). این دو را به‌صورت تصحیح‌هایی بر یک مدلِ در اصل خطی در نظر بگیرید.

۲. روابط کلیدی

نیروی محرکهٔ مغناطیسی (MMF) تولیدشده توسط سیم‌پیچ $N$ دوری حامل جریان $i$ (از قانون آمپر $\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=Ni$):

$\mathcal{F}=Ni\quad[\text{A-turn}].$

رلوکتانس یک قطعهٔ یکنواخت به طول $\ell$، سطح مقطع $A$ و نفوذپذیری $\mu$:

$\mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A}=\frac{\ell}{\mu_0\mu_r A}\quad[\text{A-turn/Wb}].$

قانون هاپکینسون (قانون اهم مغناطیسی) در یک حلقه:

$\mathcal{F}=\Phi\,\mathcal{R}\qquad\Longrightarrow\qquad \Phi=\frac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}}=\frac{Ni}{\mathcal{R}}.$

کمیت‌های میدان در قطعه‌ای با سطح مقطع $A$:

$B=\frac{\Phi}{A}\ (\text{flux density, T}),\qquad H=\frac{B}{\mu}\ (\text{field intensity, A/m}),\qquad B=\mu H.$

شار پیوندی و اندوکتانس. سیم‌پیچی با $N$ دور که شار $\Phi$ را در بر می‌گیرد، شار پیوندی $\lambda=N\Phi$ دارد. برای یک سیم‌پیچ منفرد روی مداری با رلوکتانس کل $\mathcal{R}$،

$\lambda=N\Phi=N\cdot\frac{Ni}{\mathcal{R}}=\frac{N^2}{\mathcal{R}}\,i\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{L=\frac{\lambda}{i}=\frac{N^{2}}{\mathcal{R}}}.$

اندوکتانس با مجذور تعداد دورها و به‌طور معکوس با رلوکتانس تغییر می‌کند — پرکاربردترین نتیجهٔ این مدل. برای دو سیم‌پیچ ($N_1,N_2$) روی یک مسیر شار با رلوکتانس $\mathcal{R}$، اندوکتانس متقابل برابر است با

$M=\frac{N_1 N_2}{\mathcal{R}},\qquad\text{so}\qquad M=\sqrt{L_1 L_2}\ \ (\text{ideal, unity coupling}).$

انرژی مغناطیسی ذخیره‌شده در یک مدار خطی:

$W=\tfrac{1}{2}L i^{2}=\tfrac{1}{2}\Phi^{2}\mathcal{R}=\tfrac{1}{2}\mathcal{F}\Phi,\qquad\text{density}\ \ w=\frac{B^{2}}{2\mu}\ [\text{J/m}^3].$

بیشترِ انرژی در فاصلهٔ هوایی جای دارد، زیرا در آنجا $\mu=\mu_0$ مقدار $B^2/2\mu$ را بزرگ می‌کند.

انرژی یک مسیر سری با قطعه‌های نابرابر. در یک مسیر شارِ منفرد (سری)، کمیت مشترک میان همهٔ قطعه‌ها شار $\Phi$ است، نه چگالی شار: قطعه‌ای با سطح مقطع $A_k$ چگالی $B_k=\Phi/A_k$ دارد، پس ساق باریک‌تر در $B$ بالاتری کار می‌کند. انرژی کل برابر مجموع (چگالی انرژی $\times$ حجم) روی قطعه‌هاست، که همان $\tfrac12\Phi^2$ ضرب در رلوکتانس سری است:

بنابراین هر قطعه سهم $W_k/W=\mathcal{R}_k/\mathcal{R}_{\text{tot}}$ از انرژی را در خود دارد — دقیقاً مانند تقسیم $I^2R$ در یک رشته مقاومت سری. اگر یک چگالی شار داده شده باشد، ابتدا آن را به $\Phi=B_kA_k$ تبدیل کنید و سپس همان یک $\Phi$ را همه‌جا به کار ببرید.

منبع چه چیزی را ثابت می‌کند: تحریک جریانی در برابر تحریک ولتاژی. سیم‌پیچ از رابطهٔ $v=Ri+N\,\dfrac{d\Phi}{dt}$ پیروی می‌کند. دو حالت حدی رفتاری عکس یکدیگر دارند:

• جریانِ تحمیل‌شده (منبع جریان، یا DC در حالت ماندگار که $i=V/R$): نیروی محرکهٔ مغناطیسی $Ni$ ثابت است و شار از رلوکتانس به دست می‌آید، $\Phi=Ni/\mathcal{R}$.
• ولتاژ سینوسیِ تحمیل‌شده با مقاومت سیم‌پیچ ناچیز: $v=N\,d\Phi/dt$، پس شار فقط توسط ولتاژ تعیین می‌شود، هسته یا فاصلهٔ هوایی هر شکلی که داشته باشد:

($V$ ولتاژ مؤثر است.) آنگاه جریان همان مقداری است که رلوکتانس برای عبور دادن آن شار طلب می‌کند، $I=\Phi_{\text{rms}}\mathcal{R}/N=V\mathcal{R}/(\omega N^{2})$.

نیروی کشش روی سطح قطب (تنش ماکسول). برای فاصلهٔ هوایی به طول $x$ و سطح قطب $A$، $\mathcal{R}_g=x/(\mu_0A)$ و $f=-\tfrac12\Phi^{2}\,d\mathcal{R}/dx$ نیرویی جاذبه (در جهت بستن فاصلهٔ هوایی) با اندازهٔ زیر می‌دهد

یعنی فشاری برابر $B^{2}/(2\mu_0)$ که با چگالی انرژی فاصلهٔ هوایی مساوی است. با $n$ فاصلهٔ هوایی یکسانِ سری در برابر قطعهٔ متحرک (آرمیچری که دو سر یک هستهٔ C شکل را می‌بندد $n=2$ دارد) نیروی کل $n\,B^{2}A/(2\mu_0)$ است. همین نتیجه بر حسب جریان به‌صورت $f=\tfrac12 i^{2}\left\lvert dL/dx\right\rvert$ است. در تحریک AC، $f(t)\propto\Phi^{2}(t)$ همواره جاذبه است و با فرکانس $2\omega$ ضربان دارد؛ مقدار متوسط آن با قرار دادن مقادیر مؤثر ($\Phi_{\text{rms}}$، $B_{\text{rms}}$ یا $I_{\text{rms}}$) در همان فرمول‌ها به دست می‌آید.

وابستگی کمیت‌ها به طول فاصلهٔ هوایی $x$ (هستهٔ ایده‌آل، $n$ فاصلهٔ هوایی به طول $x$ به‌صورت سری، با صرف‌نظر از پراکندگی لبه‌ای، به‌طوری که $\mathcal{R}=nx/(\mu_0A)$ و $L=\mu_0AN^{2}/(nx)$):

۳. روش — حل یک مدار مغناطیسی

1. مدار معادل را رسم کنید. هر سیم‌پیچ یک منبع نیروی محرکهٔ مغناطیسی $\mathcal{F}=Ni$ است (قطبیت با قاعدهٔ دست راست)؛ هر ساق یکنواخت / فاصلهٔ هوایی یک رلوکتانس $\mathcal{R}=\ell/(\mu A)$ است.
2. هر رلوکتانس را محاسبه کنید. برای آهن از $\mu_r$ استفاده کنید (اغلب «هستهٔ ایده‌آل» $\Rightarrow \mu_r\to\infty\Rightarrow\mathcal{R}_{\text{iron}}\to 0$). برای فاصلهٔ هوایی $\mathcal{R}_g=g/(\mu_0 A_g)$؛ اگر خواسته شده باشد، پراکندگی لبه‌ای را با بزرگ‌تر گرفتن $A_g$ منظور کنید.
3. شبکه را ساده کنید. رلوکتانس‌های واقع در یک مسیر شارِ منفرد به‌صورت سری جمع می‌شوند؛ شاخه‌هایی که در یک گره به هم می‌رسند به‌صورت موازی ترکیب می‌شوند (همان قواعد مقاومت‌ها، با $\Phi$ در نقش «جریان»).
4. مشخص کنید منبع چه چیزی را ثابت می‌کند. جریانِ معلوم (یا DC) نیروی محرکهٔ مغناطیسی $Ni$ را ثابت می‌کند؛ ولتاژ AC روی سیم‌پیچی با مقاومت ناچیز شار $\Phi_{\text{rms}}=V/(\omega N)$ را ثابت می‌کند؛ چگالی شارِ داده‌شده در یک ساق، $\Phi=BA$ آن ساق را ثابت می‌کند. همهٔ چیزهای دیگر از همان یک کمیت ثابت نتیجه می‌شوند.
5. قانون هاپکینسون/KVL–KCL را اعمال کنید. معادلهٔ $\mathcal{F}=\Phi\mathcal{R}$ (یا معادلات مش/گره) را برای شارهای حلقه حل کنید — یا هنگامی که $\Phi$ کمیت معلوم است، برای آمپر-دورِ لازم.
6. خواستهٔ مسئله را استخراج کنید — $B_k=\Phi/A_k$ در هر قطعه، $H=B/\mu$، $\lambda=N\Phi$، $L=N^2/\mathcal{R}$، انرژی $\tfrac12 Li^2=\tfrac12\Phi^2\mathcal{R}$ (اگر سطح مقطع تغییر می‌کند، قطعه‌به‌قطعه).
7. اگر قطعه‌ای می‌تواند حرکت کند، $L(\theta)$ یا $\mathcal{R}(x)$ را بنویسید و برای نیرو یا گشتاور از انرژی/هم‌انرژی استفاده کنید (§۵)؛ برای نیروی کشش سادهٔ سطح قطب مستقیماً $B^{2}A/(2\mu_0)$ به ازای هر سطح را به کار ببرید.

۴. مثال‌های کوتاه حل‌شده

مثال A — هستهٔ دارای فاصلهٔ هوایی: شار، چگالی شار، اندوکتانس

یک هستهٔ آهنی C شکل با مقطع مربعی، طول متوسط آهن $\ell_c=0.40\ \text{m}$، سطح مقطع $A=4\ \text{cm}^2=4\times10^{-4}\ \text{m}^2$، نفوذپذیری نسبی $\mu_r=2000$، با یک فاصلهٔ هوایی $g=1\ \text{mm}$. سیم‌پیچی با $N=500$ دور جریان $i=2\ \text{A}$ را حمل می‌کند. $\Phi$، $B$ و $L$ را بیابید (از پراکندگی لبه‌ای صرف‌نظر کنید).

رلوکتانس‌ها.

$\mathcal{R}_c=\frac{\ell_c}{\mu_0\mu_r A}=\frac{0.40}{(4\pi\times10^{-7})(2000)(4\times10^{-4})}\approx 3.98\times10^{5}\ \tfrac{\text{A-t}}{\text{Wb}},$

$\mathcal{R}_g=\frac{g}{\mu_0 A}=\frac{10^{-3}}{(4\pi\times10^{-7})(4\times10^{-4})}\approx 1.99\times10^{6}\ \tfrac{\text{A-t}}{\text{Wb}}.$

رلوکتانسِ فاصلهٔ هوایی ۱ میلی‌متری حدود ۵ برابر رلوکتانس کل مسیر آهنی ۴۰ سانتی‌متری است — فاصلهٔ هوایی غالب است. مجموع سری $\mathcal{R}=\mathcal{R}_c+\mathcal{R}_g\approx 2.39\times10^{6}$.

شار و چگالی شار.

$\Phi=\frac{Ni}{\mathcal{R}}=\frac{500\cdot 2}{2.39\times10^{6}}\approx 4.18\times10^{-4}\ \text{Wb},\qquad B=\frac{\Phi}{A}\approx 1.05\ \text{T}.$

اندوکتانس.

$L=\frac{N^{2}}{\mathcal{R}}=\frac{500^{2}}{2.39\times10^{6}}\approx 0.105\ \text{H}.$

اگر (به‌اشتباه) فاصلهٔ هوایی را نادیده می‌گرفتیم، $L$ حدود ۶ برابر می‌شد: همین فاصلهٔ هواییِ کوچک اندوکتانس را تعیین می‌کند.

مثال B — هستهٔ بدون فاصلهٔ هوایی با دو سطح مقطع: انرژی ذخیره‌شده

یک هستهٔ بسته با $\mu_r=1000$ دارای بخشی پهن ($A_a=10\ \text{cm}^2$، $\ell_a=20\ \text{cm}$) به‌صورت سری با بخشی باریک ($A_b=5\ \text{cm}^2$، $\ell_b=30\ \text{cm}$) است. تحریک چنان تنظیم شده که $B_a=0.5\ \text{T}$. انرژی ذخیره‌شده را بیابید.

شار مشترک است: $\Phi=B_aA_a=0.5\times10^{-3}=5\times10^{-4}\ \text{Wb}$، در نتیجه $B_b=\Phi/A_b=1.0\ \text{T}$ (نه $0.5$ تسلا). با $\mu=\mu_0\mu_r=4\pi\times10^{-4}\ \text{H/m}$:

راه میان‌بر: $\sum\ell/A=200+600=800\ \text{m}^{-1}$، پس $W=\dfrac{\Phi^{2}}{2\mu}\sum\dfrac{\ell}{A}=\dfrac{25\times10^{-8}\times800}{8\pi\times10^{-4}}=\dfrac{1}{4\pi}\ \text{J}$. تحریک لازم $Ni=\Phi\mathcal{R}_{\text{tot}}=\dfrac{5\times10^{-4}\times800}{4\pi\times10^{-4}}\approx318\ \text{A-t}$ است و $\tfrac12(Ni)\Phi$ همان $0.080$ ژول را می‌دهد. بخش باریک سه‌چهارم انرژی را در خود دارد، زیرا سه‌چهارم رلوکتانس از آنِ اوست.

مثال C — آهن‌ربای الکتریکی با تغذیهٔ AC: با باز شدن فاصلهٔ هوایی چه رخ می‌دهد

یک هستهٔ C شکل ایده‌آل با آرمیچری در برابر دو سطح قطب آن (هر کدام $A=10\ \text{cm}^2$، فاصلهٔ هوایی $x=1\ \text{mm}$ در هر سطح) دارای $N=200$ دور با مقاومت ناچیز است که با $V=100\ \text{V}$ مؤثر و $\omega=500\ \text{rad/s}$ تغذیه می‌شود.

وارسی با صورتِ جریانی: $L=N^{2}/\mathcal{R}\approx25.1\ \text{mH}$، $\left\lvert dL/dx\right\rvert=L/x\approx25.1\ \text{H/m}$ و $\tfrac12I^{2}\left\lvert dL/dx\right\rvert\approx796\ \text{N}$.

اکنون هر فاصلهٔ هوایی را تا $x=3\ \text{mm}$ باز کنید. ولتاژ همچنان $\Phi_{\text{rms}}=10^{-3}$ وبر را تحمیل می‌کند، پس جریان سه برابر می‌شود و به $\approx23.9\ \text{A}$ می‌رسد، در حالی که نیروی کشش متوسط همان $796\ \text{N}$ باقی می‌ماند. اگر به‌جای آن، سیم‌پیچ در جریان ثابت $7.96\ \text{A}$ نگه داشته می‌شد، شار به یک‌سوم و نیروی کشش به یک‌نهم، یعنی $\approx88\ \text{N}$، کاهش می‌یافت.

۵. حالت‌های رایج و موارد خاص

• هستهٔ ایده‌آل. «هستهٔ ایده‌آل» / «نفوذپذیری بی‌نهایت» $\Rightarrow \mathcal{R}_{\text{iron}}=0$، پس فقط فاصله‌های هوایی رلوکتانس دارند و $L=N^2/\mathcal{R}_{\text{gap}}$. دو سیم‌پیچ روی چنین هسته‌ای همان $\mathcal{R}$ را دارند، پس $L_1:L_2 = N_1^2:N_2^2$.
• ساق‌های سری در برابر موازی. هسته‌ای با دو ساق کناری و یک ساق میانی یک شبکهٔ گره‌ای مغناطیسی است — رلوکتانس‌ها را دقیقاً مانند یک پل مقاومتی ترکیب کنید و در هر یوغ از پیوستگی شار $\sum\Phi=0$ استفاده کنید.
• غلبهٔ فاصلهٔ هوایی. چون $\mu_r$ آهن $10^3$–$10^4$ است، حتی فاصلهٔ هواییِ کمتر از یک میلی‌متر هم معمولاً شار را کنترل می‌کند؛ فاصلهٔ هوایی متحرک، $\mathcal{R}(x)$ و در نتیجه $L(x)$ را وابسته به موقعیت می‌کند (اساس کار رله‌ها، سولنوئیدها و حسگرهای رلوکتانسی).
• سطح مقطع غیریکنواخت. قطعه‌های یک مسیر شار با سطح مقطع‌های متفاوت، $\Phi$ مشترک دارند اما $B$ مشترک ندارند؛ هر کدام سهم $\ell_k/(\mu_kA_k)$ خود را به رلوکتانس و سهم $B_k^{2}A_k\ell_k/(2\mu_k)$ خود را به انرژی می‌افزاید. باریک‌ترین قطعه بیشترین $B$ را دارد و زودتر از همه اشباع می‌شود.
• اشباع / غیرخطی بودن. در نیروی محرکهٔ مغناطیسی بالا، $\mu_r$ آهن به‌شدت افت می‌کند؛ در این صورت نمی‌توان از $\mathcal{R}$ ثابت استفاده کرد — به‌صورت ترسیمی روی منحنی $B$–$H$ کار کنید و افت‌های $H\ell$ را دور حلقه جمع کنید ($\sum H_k\ell_k=Ni$).
• نیرو و گشتاور از روی انرژی. برای یک عملگر خطیِ تک‌تحریکه با فاصلهٔ هوایی متحرک، نیروی کشش $f=\tfrac12 i^2\,dL/dx=-\tfrac12\Phi^2\,d\mathcal{R}/dx$ است. برای یک ماشین دوار دوتحریکه با $L_{sr}(\theta)$، گشتاور از هم‌انرژی $W'=\tfrac12 L_{ss}i_s^2+\tfrac12 L_{rr}i_r^2+L_{sr}i_s i_r$ به دست می‌آید:

$T=\left.\frac{\partial W'}{\partial\theta}\right|_{i_s,i_r}=\tfrac12 i_s^2\frac{dL_{ss}}{d\theta}+\tfrac12 i_r^2\frac{dL_{rr}}{d\theta}+i_s i_r\frac{dL_{sr}}{d\theta}.$

فقط اندوکتانس‌های وابسته به زاویه گشتاور تولید می‌کنند: اندوکتانس‌های خودیِ ثابت هیچ سهمی ندارند و اندوکتانس متقابل $L_{sr}=M\cos\theta$ گشتاور $T=-M\,i_s i_r\sin\theta$ را می‌دهد — پلی از مدل رلوکتانس و شار به گشتاور ماشین.

• تحریک AC (جریان مغناطیس‌کنندگی). با منبع سینوسی روی سیم‌پیچ بدون تلفات، جریان مغناطیس‌کنندگی $I=V/(\omega L)=V\mathcal{R}/(\omega N^2)$ است: رلوکتانس بیشتر (فاصلهٔ هوایی بزرگ‌تر) یا دورهای کمتر $\Rightarrow$ جریان بی‌باری بزرگ‌تر. خودِ شار، $V/(\omega N)$، تغییر نمی‌کند — به همین دلیل است که یک کنتاکتور AC هنگامی که آرمیچرش باز است جریان هجومی بزرگی می‌کشد ولی در سراسر کورس تقریباً با همان نیرو می‌کشد، در حالی که آهن‌ربای DC (جریان ثابت) در حالت باز ضعیف و در حالت بسته قوی می‌کشد.
• وقتی مقاومت ناچیز نیست. اگر $R\gg\omega L$ باشد، آنچه منبع ثابت می‌کند جریان $V/R$ است و آهن‌ربای AC مانند ستون جریان‌ثابتِ جدول §۲ رفتار می‌کند.

تلهٔ رایج: هرگز فاصلهٔ هوایی را با آهن یکی نگیرید. فاصلهٔ هوایی ۱ میلی‌متری در یک مسیر آهنی ۴۰ سانتی‌متری می‌تواند رلوکتانسی بیشتر از کل هسته داشته باشد، زیرا $\mu_0$ هزاران بار کوچک‌تر از $\mu_{\text{iron}}$ است — فاصلهٔ هوایی است که شار، اندوکتانس و محل ذخیرهٔ انرژی را تعیین می‌کند. همچنین به یاد داشته باشید $L\propto N^2/\mathcal{R}$ (نه $N/\mathcal{R}$): دو برابر کردن دورها اندوکتانس را چهار برابر و جریان مغناطیس‌کنندگی AC را یک‌چهارم می‌کند، پس نسبت جریان دو سیم‌پیچ روی یک هسته برابر عکس مجذور نسبت دورهای آن‌هاست، نه خودِ نسبت دورها.

نکتهٔ کنکوری: پیش از هر مقیاس‌بندی، بپرسید منبع کدام کمیت را ثابت نگه می‌دارد. جریان ثابت $\Rightarrow$ $\Phi\propto1/\mathcal{R}$ و نیروی کشش $\propto1/x^{2}$. ولتاژ AC ثابت با مقاومت ناچیز $\Rightarrow$ $\Phi=V/(\omega N)$ ثابت است، جریان متناسب با فاصلهٔ هوایی تغییر می‌کند ($I\propto x$) و نیروی کشش متوسط اصلاً تغییر نمی‌کند. و در هر مسیر سری، $\Phi$ را از قطعه‌ای به قطعهٔ دیگر منتقل کنید — هرگز $B$ را.