سوال ۷۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

ماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲آسانمدارهای مغناطیسی

اهمیت

۰/۵

یک حلقه آهنی به طول متوسط ۲۰ سانتی‌متر و ضریب نفوذپذیری مغناطیسی نسبی ۱۰۰، دارای یک فاصله هوایی به‌طول یک میلی‌متر است. از یک سیم‌پیچی ۲۰۰ دوری روی حلقه مزبور، ۱/۵ آمپر جریان عبور می‌دهیم. اگر از شکفتگی شار در فاصله هوایی چشم‌پوشی و $\mu_0 = 10^{-6}$ فرض شود، چگالی شار مغناطیسی در فاصله هوایی برحسب تسلا چقدر است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ A — ۰/۱

پاسخ تشریحی

مدار مغناطیسی سری: مسیر آهنی + فاصلهٔ هوایی

حلقهٔ دارای شکاف کوچک یک مدار مغناطیسی سری است: شار یکسان $\Phi$ از آهن و از فاصلهٔ هوایی عبور می‌کند. چون از پراکندگی شار (fringing) صرف‌نظر شده است، سطح مقطع فاصلهٔ هوایی با سطح مقطع هسته $A$ برابر است، بنابراین چگالی شار در همه‌جا یکسان است:

B_{\text{iron}} = B_{\text{gap}} = B .

داده‌ها

\ell_{\text{total}} = 20\ \text{cm} = 0.2\ \text{m},\qquad \ell_g = 1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m},\qquad \mu_r = 100,

N = 200,\qquad I = 1.5\ \text{A},\qquad \mu_0 = 10^{-6}\ \text{H/m (as given)} .

طول مسیر آهنی: $\ell_{\text{Fe}} = 0.2 - 0.001 = 0.199\ \text{m} \approx 0.2\ \text{m}$ .

قانون آمپر حول مسیر میانگین

\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = NI \;\Rightarrow\; H_{\text{Fe}}\,\ell_{\text{Fe}} + H_g\,\ell_g = NI .

با جای‌گذاری $H_{\text{Fe}} = \dfrac{B}{\mu_0\mu_r}$ و $H_g = \dfrac{B}{\mu_0}$ :

\frac{B}{\mu_0}\left(\frac{\ell_{\text{Fe}}}{\mu_r} + \ell_g\right) = NI .

محاسبات عددی

NI = 200 \cdot 1.5 = 300\ \text{A·t}.

\frac{\ell_{\text{Fe}}}{\mu_r} + \ell_g = \frac{0.2}{100} + 10^{-3} = 2\times 10^{-3} + 1\times 10^{-3} = 3\times 10^{-3}\ \text{m}.

B = \frac{\mu_0\,NI}{\dfrac{\ell_{\text{Fe}}}{\mu_r} + \ell_g} = \frac{10^{-6}\cdot 300}{3\times 10^{-3}} = \frac{3\times 10^{-4}}{3\times 10^{-3}} = 0.1\ \text{T}.

(اگر طول دقیق آهن یعنی $0.199\ \text{m}$ را نگه داریم، به $B = 300\times 10^{-6}/2.99\times10^{-3} = 0.1003\ \text{T}$ می‌رسیم — که تا دقت گزینه‌های چاپ‌شده همان پاسخ است.)

دیدگاه رلوکتانس (هم‌ارز)

\mathcal{R}_{\text{Fe}} = \frac{\ell_{\text{Fe}}}{\mu_0\mu_r A} = \frac{2\times10^{-3}}{\mu_0 A},\qquad \mathcal{R}_g = \frac{\ell_g}{\mu_0 A} = \frac{1\times10^{-3}}{\mu_0 A},

\Phi = \frac{NI}{\mathcal{R}_{\text{Fe}} + \mathcal{R}_g} = \frac{300\,\mu_0 A}{3\times10^{-3}} \;\Rightarrow\; B = \frac{\Phi}{A} = 0.1\ \text{T}.

توجه کنید که فاصلهٔ هوایی ۱ میلی‌متری به‌تنهایی یک‌سوم کل افت نیرومحرکهٔ مغناطیسی را بر عهده دارد، در حالی که تنها $0.5\%$ از طول مسیر است — و این دقیقاً کارکرد تقسیم بر $\mu_r$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱ — $B_{\text{gap}} = 0.1\ \text{T}$ .

نکتهٔ کنکوری: در مدار سری آهن به‌همراه فاصلهٔ هوایی، طول مغناطیسی مؤثر برابر است با $\ell_{\text{eff}} = \ell_{\text{Fe}}/\mu_r + \ell_g$ ؛ تنها طول آهن بر $\mu_r$ تقسیم می‌شود. فراموش‌کردن این تقسیم (یعنی گرفتن $\ell_{\text{eff}} = \ell_g$ به‌تنهایی) به $0.3\ \text{T}$ می‌انجامد — دقیقاً گزینهٔ انحرافی ۴ — و نادیده‌گرفتن کامل فاصلهٔ هوایی $0.15\ \text{T}$ ، یعنی گزینهٔ انحرافی ۲، را می‌دهد.

#magnetic-circuit#air-gap#reluctance#mmf#flux-density#relative-permeability

کارت‌های مرتبط

مفهومماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲

مدارهای مغناطیسی: رلوکتانس، شار، انرژی ذخیره‌شده و نیروی کشش

روش مدار مغناطیسی، شارِ رانده‌شده توسط نیروی محرکهٔ مغناطیسی سیم‌پیچ را در رلوکتانس مسیر فرومغناطیسی و فاصله‌های هوایی آن مدل می‌کند و از آن رلوکتانس‌ها، اندوکتانس‌ها ( L=N^2/R )، انرژی ذخیره‌شدهٔ قطعه‌به‌قطعه، شارِ تحمیل‌شده توسط منبع ولتاژ AC و — در سیستم‌های متحرک — نیروی کشش سطح قطب و گشتاور از روی هم‌انرژی به دست می‌آید.

magnetic-circuitreluctanceair-gapself-inductance