ضرایب سری فوریه سیگنال پیوستهزمان x(t)=۲sin((۲π)/۷t) را a_k و ضرایب سری فوریه سیگنال گسستهزمان y[n]=۲sin((۲π)/۷n) را b_k مینامیم. اگر دوره تناوب هر دو سیگنال ۷ باشد، کدام گزاره درست است؟

سوال ۹۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطتحلیل فوریهٔ زمان‌گسسته

اهمیت

۰/۵

ضرایب سری فوریه سیگنال پیوسته‌زمان $x(t)=۲\sin(\frac{۲\pi}{۷}t)$ را $a_k$ و ضرایب سری فوریه سیگنال گسسته‌زمان $y[n]=۲\sin(\frac{۲\pi}{۷}n)$ را $b_k$ می‌نامیم. اگر دوره تناوب هر دو سیگنال ۷ باشد، کدام گزاره درست است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ A — $b_{۶}=a_{-۱}$

پاسخ تشریحی

دو دستهٔ ضرایب

هر دو سیگنال سینوسی خالص با فرکانس اصلی هستند؛ پس هر کدام را با فرمول اویلر بسط می‌دهیم و ضرایب را مستقیماً می‌خوانیم.

زمان پیوسته — $a_k$

با $T=7$ فرکانس اصلی برابر $\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{7}$ است و

x(t)=2\sin\!\left(\frac{2\pi}{7}t\right)=2\cdot\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}=\frac{1}{j}e^{j\omega_0 t}-\frac{1}{j}e^{-j\omega_0 t}.

با مقایسه با $x(t)=\sum_k a_k e^{jk\omega_0 t}$ :

a_{1}=\frac{1}{j}=-j,\qquad a_{-1}=-\frac{1}{j}=j,\qquad a_k=0 \ \text{ for } |k|\neq 1 .

به‌طور خاص $a_{6}=0$ — دنبالهٔ ضرایب سری فوریهٔ زمان‌پیوسته (CTFS) نسبت به $k$ متناوب نیست؛ روی کل $\mathbb{Z}$ تعریف می‌شود و بیرون از $k=\pm 1$ صفر است.

زمان گسسته — $b_k$

با $N=7$ فرکانس دیجیتال اصلی برابر $\Omega_0=\frac{2\pi}{N}=\frac{2\pi}{7}$ است و

y[n]=2\sin\!\left(\frac{2\pi}{7}n\right)=\frac{1}{j}e^{j\Omega_0 n}-\frac{1}{j}e^{-j\Omega_0 n},

پس در یک دورهٔ تناوب از $k$ ،

b_{1}=-j,\qquad b_{-1}=j,\qquad b_k=0 \ \text{ for the remaining } k .

خاصیت تعیین‌کننده

توابع پایهٔ DTFS در رابطهٔ $e^{j(k+N)\Omega_0 n}=e^{jk\Omega_0 n}e^{j2\pi n}=e^{jk\Omega_0 n}$ صدق می‌کنند؛ بنابراین ضرایب DTFS نسبت به $k$ با دورهٔ تناوب $N=7$ متناوب‌اند:

b_{k+7}=b_{k}.

پس

b_{6}=b_{6-7}=b_{-1}=j .

بررسی گزینه‌ها

گزینه	سمت چپ	سمت راست	حکم
۱	$b_{6}=j$	$a_{-1}=j$	درست
۲	$b_{6}=j$	$b_{1}=-j$	نادرست
۳	$a_{6}=0$	$b_{-1}=j$	نادرست
۴	$a_{6}=0$	$a_{1}=-j$	نادرست

تنها گزینهٔ ۱ برقرار است: $b_{6}=b_{-1}=j=a_{-1}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۱.

نکتهٔ کنکوری: تمام این سؤال بر یک عدم‌تقارن استوار است — ضرایب DTFS هر $N$ گام تکرار می‌شوند ( $b_{k+N}=b_k$ )، در حالی که ضرایب CTFS اصلاً تکرار نمی‌شوند. ابتدا هر اندیس گسسته را به پیمانهٔ $N$ کاهش دهید ( $6\equiv-1 \pmod 7$ ) و سپس مقایسه کنید؛ هرگز اندیس زمان‌پیوسته را به همین شیوه کاهش ندهید.

#fourier-series#dtfs#ctfs#periodicity#sinusoid#discrete-time

کارت‌های مرتبط

مفهومسیگنال‌ها و سیستم‌ها

فوریهٔ زمان‌گسسته: DTFS، DTFT و DFT

سه ابزار فوریهٔ زمان‌گسسته — DTFS برای دنباله‌های متناوب، DTFT برای دنباله‌های نامتناوب و DFT برای بلوک‌های با طول محدود — همراه با زوج‌های تبدیل (از جمله هستهٔ دیریکله)، خواص (انتقال، وارون‌سازی زمانی، مزدوج‌گیری، مقیاس‌دهی، مشتق‌گیری در حوزهٔ فرکانس، تقارن، پارسوال)، تقارن‌های ضرایب DTFS، ارتباط قطار ضربه با سری فوریهٔ زمان‌پیوسته، و روش‌هایی برای وارون‌کردن طیف‌های مرکب، محاسبهٔ انتگرال‌های طیفی به‌صورت نمونه و دسته‌بندی سیستم‌ها از روی یک رابطهٔ حوزهٔ فرکانس.

dtftdtfsdftdirichlet-kernel