سوال ۹۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

صورت‌بندی مسئله

در یک سیستم LTI، خروجی برابر کانولوشن ورودی با پاسخ ضربه است:

$y_1[n] = x_1[n] * h_1[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k]\, h_1[n-k]$

سیستم دوم با یک ورودی شیفت‌یافته تحریک می‌شود و خودش نیز پاسخ ضربهٔ شیفت‌یافته دارد:

$x_2[n] = x_1[n-2], \qquad h_2[n] = h_1[n-5]$

خاصیت شیفت در کانولوشن

نکتهٔ کلیدی این است که تأخیر در هر یک از دو عامل کانولوشن، به‌صورت همان تأخیر در نتیجه ظاهر می‌شود و تأخیرها با هم جمع می‌شوند:

$x[n-n_0] * h[n-n_1] = y[n-n_0-n_1], \qquad y[n] = x[n]*h[n]$

اثبات مستقیم

$y_2[n] = x_2[n] * h_2[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_2[k]\, h_2[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_1[k-2]\, h_1[n-k-5]$

تغییر متغیر $m = k-2$ (یعنی $k = m+2$) را اعمال می‌کنیم:

$y_2[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_1[m]\, h_1\big(n-(m+2)-5\big) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_1[m]\, h_1[(n-7)-m]$

مجموع اخیر دقیقاً همان تعریف $y_1$ است که در $n-7$ محاسبه شده است:

$\boxed{\,y_2[n] = y_1[n-7]\,}$

بررسی با تبدیل

در حوزهٔ $z$ (یا حوزهٔ DTFT)، تأخیر به اندازهٔ $n_0$ معادل ضرب در $z^{-n_0}$ است:

$X_2(z) = z^{-2} X_1(z), \qquad H_2(z) = z^{-5} H_1(z)$

$Y_2(z) = X_2(z) H_2(z) = z^{-2} z^{-5} X_1(z) H_1(z) = z^{-7} Y_1(z) \;\Rightarrow\; y_2[n] = y_1[n-7]$

هر دو مسیر به تأخیر کل $2 + 5 = 7$ نمونه می‌رسند، یعنی گزینهٔ ۴.

نکتهٔ کنکوری: تأخیرها در کانولوشن صرفاً با هم جمع می‌شوند؛ نه میانگین گرفته می‌شود و نه یکدیگر را خنثی می‌کنند. چون $z^{-2}\cdot z^{-5}=z^{-7}$ است، گزینه‌های انحرافی $\pm 3$ (حاصل تفریق $5-2$) و $+7$ (تقدم به‌جای تأخیر) تله‌های عمدی طراح‌اند. همچنین توجه کنید که در صورت سؤال عبارت «پیوسته‌زمان» آمده، ولی همهٔ سیگنال‌ها با اندیس کروشه‌ای $[n]$ نوشته شده‌اند؛ پس سیستم گسسته‌زمان است و در هر دو حالت نتیجه یکسان است.