سوال ۲۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

وقتی $x\to-\infty$، توان به یک حد متناهی میل می‌کند،

$\frac{4-x}{3-x}=\frac{(3-x)+1}{3-x}=1+\frac{1}{3-x}\;\longrightarrow\;1,$

بنابراین $(6-x)e^{\frac{4-x}{3-x}}\to+\infty$ در حالی که $ex\to-\infty$. این یک صورت مبهم $\infty-\infty$ است، پس باید با دقت بسط دهیم.

فاکتورگیری از تابع نمایی. با استفاده از اتحاد بالا،

$e^{\frac{4-x}{3-x}} = e^{1+\frac{1}{3-x}} = e\cdot e^{\frac{1}{3-x}}.$

قرار می‌دهیم $u=\dfrac{1}{3-x}$؛ وقتی $x\to-\infty$، آنگاه $u\to 0^{+}$. بسط تیلور:

$e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\cdots$

بسط جملهٔ نخست. با توجه به $6-x=(3-x)+3$ و $\dfrac{1}{3-x}=u$،

$(6-x)\,e\,e^{u}=e\,(6-x)\left(1+u+\tfrac{u^{2}}{2}+\cdots\right)=e\left[(6-x)+\frac{6-x}{3-x}+\frac{6-x}{2(3-x)^{2}}+\cdots\right].$

جمله‌های متناهی را وقتی $x\to-\infty$ ارزیابی می‌کنیم:

$\frac{6-x}{3-x}=1+\frac{3}{3-x}\longrightarrow 1,\qquad \frac{6-x}{2(3-x)^{2}}\longrightarrow 0.$

پس

$(6-x)\,e^{\frac{4-x}{3-x}} = e(6-x)+e+o(1) = -e\,x+6e+e+o(1) = -e\,x+7e+o(1).$

افزودن جملهٔ دوم. جملهٔ واگرای $-ex$ دقیقاً با $+ex$ حذف می‌شود:

$(6-x)e^{\frac{4-x}{3-x}}+ex = \big(-e\,x+7e\big)+e\,x+o(1)=7e+o(1).$

بنابراین

$\lim_{x\to-\infty}\left[(6-x)e^{\frac{4-x}{3-x}}+ex\right]=7e.$

این گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: در یک صورت $\infty-\infty$، حد متناهی را از تابع نمایی بیرون بکشید ($e^{1+\frac{1}{3-x}}=e\cdot e^{1/(3-x)}$) و جملهٔ مرتبهٔ اول بسط $e^{u}\approx 1+u$ را نگه دارید — اصلاح $O(u)$ ضرب در پیش‌ضریب $O(x)$، ثابت متناهی $7e$ را می‌سازد؛ حذف آن (فرض $e^{u}\approx 1$) به اشتباه $6e$ می‌دهد (تله، گزینهٔ ۳).