سوال ۲۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

گام ۱ — قضیهٔ اساسی حسابان. با توجه به اینکه حد بالایی متغیر و حد پایینی ثابت است، $f'(x) = \sin^{3}(1-x).$ پس $f^{(6)}(1)$ برابر با مشتق پنجم تابع $g(x)=\sin^{3}(1-x)$ در نقطهٔ $x=1$ است؛ یعنی $f^{(6)}(1)=g^{(5)}(1)$.

گام ۲ — بسط حول $x=1$ با استفاده از سری تیلور. قرار می‌دهیم $s = x-1$، پس $1-x = -s$ و $s=0$ متناظر با $x=1$ است. آنگاه $g = \sin^{3}(-s) = -\sin^{3}s.$ از اتحاد کاهش توان $\sin^{3}s = \dfrac{3\sin s - \sin 3s}{4}$ به همراه $\sin s = s - \tfrac{s^3}{6} + \tfrac{s^5}{120} - \cdots$ استفاده می‌کنیم: $3\sin s - \sin 3s = 4s^{3} - 2s^{5} + \cdots \;\Rightarrow\; \sin^{3}s = s^{3} - \tfrac{1}{2}s^{5} + \cdots$ بنابراین $f'(x) = g = -\sin^{3}s = -s^{3} + \tfrac{1}{2}s^{5} - \cdots$

گام ۳ — انتگرال‌گیری (با شرط $f(1)=0$). $f(x) = -\frac{s^{4}}{4} + \frac{1}{2}\cdot\frac{s^{6}}{6} - \cdots = -\frac{s^{4}}{4} + \frac{s^{6}}{12} - \cdots, \qquad s=x-1.$

گام ۴ — استخراج مشتق ششم. ضریب $s^{6}$ در بسط تیلور برابر با $\dfrac{f^{(6)}(1)}{6!}$ است. از آنجا که این ضریب برابر $\tfrac{1}{12}$ است، $f^{(6)}(1) = 6!\cdot\frac{1}{12} = \frac{720}{12} = 60.$

پاسخ برابر ۶۰ است، گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: مشتق‌گیری پنج‌بارهٔ $\sin^{3}(1-x)$ به‌صورت دستی بسیار طاقت‌فرساست. چون در نزدیکی صفر داریم $\sin^{3}s \sim s^{3}$، نخستین جملهٔ ناصفر تابع $f$ همان $s^{4}$ است — پس $f^{(6)}(1)$ کاملاً از جملهٔ $s^{6}$ سری تیلور به دست می‌آید. به‌جای دست‌وپنجه نرم کردن با قاعدهٔ زنجیره‌ای، رابطهٔ $\dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}=$ (ضریب $s^{n}$) را تطبیق دهید.