سوال ۲۶ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵

تنظیم مسئله. شش جواب معادلهٔ $z^6 = w$ (با $w \neq 0$) همگی اندازهٔ یکسان دارند و آرگومان آن‌ها با فاصلهٔ $60^\circ$ از یکدیگر قرار می‌گیرد، بنابراین رئوس یک شش‌ضلعی منتظم محاطی در دایره‌ای به شعاع زیر هستند:

محاسبهٔ اندازهٔ سمت راست. در اینجا $w = \dfrac{1}{(3-4i)^{12}}$. چون $|3-4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$، داریم:

شعاع دایرهٔ محیطی.

ضلع و محیط. در یک شش‌ضلعی منتظم، طول ضلع برابر با شعاع دایرهٔ محیطی است: $s = R$. بنابراین:

این همان گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: برای $z^n = w$ ریشه‌ها همواره یک $n$-ضلعی منتظم روی دایرهٔ $|z| = |w|^{1/n}$ تشکیل می‌دهند. شش‌ضلعی منتظم حالت ویژه‌ای است: ضلع آن برابر با شعاع است، پس محیط به‌سادگی برابر $6|w|^{1/6}$ می‌شود — بدون نیاز به مثلثات.